Continuità e derivabilità debole con derivata debole continua implica una differenziabilità continua forte?

Aug 20 2020

Permettere $u: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Se$u$ è fortemente differenziabili (cioè differenziabili in senso classico) con forte derivata $u'$, poi $u$ è anche debolmente differenziabile e ogni derivata debole è uguale $u'$ quasi ovunque.

Ora, supponi $u$ è continua e ha una derivata debole continua: possiamo concludere che $u$ è continuamente differenziabile nel senso forte (cioè usuale)?

Risposte

1 Surb Aug 19 2020 at 23:07
  • La derivata debole è unica, quindi non ci sono "più derivate" (si noti che non lavoriamo con le funzioni , ma piuttosto con classi di funzioni ).

  • Per la tua seconda domanda, la risposta è sì. Questa è una semplice conseguenza del teorema fondamentale del calcolo . Inoltre, invece di dire che "c'è una derivata continua debole" , diciamo piuttosto che "c'è un rappresentante continuo della derivata" .