Contorno integrato$\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$
vorrei integrare$\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$dove$m$è un numero intero.
Sembra che ci siano singolarità entrambe reali$x = \frac{n\pi}{a}$e immaginario$x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.
Questo sembra suggerire che l' integrazione dei contorni sia la strada da percorrere.
Ora non sono sicuro di come procedere da qui in avanti.
Risposte
Per$m>0$,$\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, quindi l'integrale dato è una somma di cose come$$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$dove, per un complesso$z$insieme a$\Re z>-1$,$$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$insieme a$\psi$la funzione digamma (l'uguaglianza finale è mostrata come qui ). Se avessimo seno al posto del coseno in$\eqref{mainint}$, il$\psi$'s si ridurrebbe a causa della formula di riflessione . Con il coseno in atto, questi non lo fanno, così come nel risultato finale. Ecco perché non mi aspetto che l'integrazione dei contorni produca qualcosa di utile.