Convergenza uniforme dell'integrale

Question

Sto cercando di capirlo per la prima volta. Devo controllare se$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$è uniformemente convergente oppure no. La mia ipotesi è che non sia convergente se$\alpha \in ]0,\infty[$ma non sono sicuro al 100% se ho dimostrato di aver ragione o come dimostrarlo. Quindi quello che ho fatto è:

Supponiamo che sia uniformemente convergente. Poi c'è un file$p \in \mathbb{N}$ tale che $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ non sono sicuro di quale numero mettere in "qualcosa" per una contraddizione.

E se questo è vero, la funzione $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$è limitato. lo so$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$non esiste. È una contraddizione? Perché questo contraddice il fatto che$f$è limitato? (Se$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ Non avrei dubbi, ma non è così - il limite semplicemente non esiste quindi non so come giustificarlo).

Spero di essere stato chiaro sul mio dubbio. Grazie!

Answer 1

L'integrale converge uniformemente per $\alpha \in [a,\infty)$ dove $a > 0$ dal test M di Weierstrass, ma non su $(0,\infty)$.

Per il primo integrale, con $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ noi abbiamo

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Poiché la RHS non converge a $0$ come $n \to \infty$, il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme è violato.