Convergenza uniforme di successioni di funzioni quasi ovunque nulle

Aug 15 2020

Permettere$B([a , b])$essere lo spazio delle funzioni limitate e misurabili da un intervallo limitato chiuso$[a , b]$in$\mathbb R$dotato della norma sup. So che questo è uno spazio di Banach.

Consideriamo ora il seguente sottospazio vettoriale di$B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Come dimostrarlo$L_{0}$è un sottospazio chiuso di$B([a , b])$.

Il mio tentativo è il seguente:

Permettere$f \in B([a , b])$essere un punto limite di$L_{0}$. Poi c'è una sequenza$( f_{n} )$in$L_{0}$tale che$f_{n} → f$uniformemente e quindi$f_{n} (x) = f (x)$per tutti$x \in [a , b]$. Ora da allora$f_{n} = 0$e per tutti$n\in\mathbb N$e poiché l'intersezione numerabile di sottoinsiemi a misura intera è quindi un sottoinsieme a misura intera$f = 0$ae Qualsiasi correzione se sbaglio è molto apprezzata. Grazie per qualsiasi aiuto.

Risposte

Surb Aug 15 2020 at 21:38

Permettere$(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$una sequenza di$L_0$che converge ad una funzione$f$. In particolare,$f_n(x)\to f(x)$ae e così$f=0$ae Pertanto,$L_0$è sequenzialmente chiuso e quindi chiuso.