Coprodotto dell'elemento Drinfeld?

Question

1. Problema
Let$(H,R)$ essere un'algebra di Hopf quasitriangolare, di dimensione finita, con antipodi $S$ e coprodotto $\Delta$. Utilizzando la notazione di Sweedler, definire l'elemento Drinfeld$u$ come $u:= S(R_{(2)})R_{(1)}$. Un testo che sto leggendo propone (senza prove) che l'elemento Drinfeld è un elemento simile a un gruppo fino a un termine di correzione, cioè che contiene la seguente identità:

$$\Delta (u)=\overline R \cdot \overline R_{21} \cdot (u \otimes u).$$

Qui $\overline R = R^{-1}$ e $\overline R_{21}= \tau_{H,H}(R)^{-1} $ con $\tau_{H,H}$ la mappa delle torsioni $H$.
Non sono in grado di provare questa identità.

2. I miei pensieri fino ad ora
Un altro modo di pensarci: l'identità di cui sopra equivale a dirlo$Q \cdot \Delta (u)= u \otimes u$ (o equivalentemente $\Delta (u) \cdot Q = u \otimes u$) con $Q:=R_{21}\cdot R_{12}$ l'elemento monodromia.

Ho provato a usare il fatto che $S^2(h)=uhu^{-1}$ per tutti $h \in H$ (cioè scrivere $u$ come $u:= S^{-1}(S^2(R_{(2)}))R_{(1)}$, l'antipodo è invertibile perché siamo a dimensione finita), e quindi lo utilizziamo $S$è un omorfismo antialgebra e che il coprodotto è un omomorfismo algebrico. Inoltre, ho provato a utilizzare le proprietà di definizione di un'algebra di Hopf quasitriangolare (la seconda e la terza qui mettono in relazione il coprodotto con l'universale$R$-matrix) - senza successo.

Answer 1

Un calcolo piuttosto noioso e complicato per provare l'identità può essere trovato nel documento di Drinfeld del 1989 Sulle algebre di Hopf quasi cocommutative , pubblicato sulla rivista Leningrad Mathematical . Vedere a pagina 7 di questo documento (pagina 327 della rivista).