Cosa c'è di diverso tra campo e campo finito?
So che forse la mia domanda è fuori tema e mi dispiace.
Recentemente sono caduto nella teoria dei gruppi e mi sono confuso con la definizione esatta di campo.
Il mio insegnante dice:
$Z_{x}$ è un campo se e solo se $x$ è una potenza primaria come $p^n$ dove $p$ è primo e $n$ è un numero intero positivo.
secondo questa frase possiamo concludere $Z_{4}$è anche un campo, ma credo che non dovrebbe essere un campo perché non soddisfa la proprietà di moltiplicazione inversa .
alcuni siti web come Wikipedia indicano:
Il numero di elementi di un campo finito è chiamato il suo ordine o, a volte, la sua dimensione. Un campo di ordine finito$q$ esiste se e solo se l'ordine $q$ è una potenza primaria $p^k$ (dove $p$ è un numero primo e $k$è un numero intero positivo). In un campo d'ordine$p^k$, aggiungendo $p$le copie di qualsiasi elemento restituiscono sempre zero; cioè, la caratteristica del campo è$p$.
a causa di questo paragrafo $Z_{4}$dovrebbe essere un campo finito mentre non è un campo .
Quindi la mia domanda è: il mio insegnante ha commesso un errore? Il campo finito è lo stesso anello ? se no allora che differenza c'è tra campo finito e anello ?
Ho letto quasi tutte le pagine correlate in Internet per scoprire la differenza tra campo e campo finito ma nessuna di esse è stata spiegata esattamente e ora sono ancora confuso al riguardo, quindi ho deciso di chiedere qui.
Risposte
Un campo finito è un campo. Un campo, finito o infinito, non ha divisori zero. Se da$\mathbf{Z}_4$ intendi $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, l'anello degli interi modulo $4$, allora hai ragione che quell'anello ha zero divisori e quindi non è un campo. C'è un campo con quattro elementi, ma è diverso da$\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$. Per quanto riguarda l'aggiunta, questo campo ha l'aspetto$(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\times(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$. Rispetto alla moltiplicazione, la sua struttura è più coinvolta; dovrebbe essere facile individuare le fonti che descrivono la costruzione.
Ecco un breve riassunto: sul campo $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ non c'è soluzione all'equazione $x^2+x+1=0$ (da $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ ha solo due elementi, $0$ e $1$e nessuno dei due risolve l'equazione). Possiamo estendere il campo$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ includendo un nuovo elemento $x$ che risolve l'equazione di cui sopra, più o meno allo stesso modo in cui estendiamo $\mathbf{R}$ includendo una soluzione a $x^2+1=0$. Il risultato è un campo con quattro elementi. Quindi gli elementi del campo esteso includono$0$, $1$, $x$, e $x+1$. Potresti chiedere "che dire$x^2$, ecc.? "Ma da allora $x$ soddisfa $x^2+x+1=0$, possiamo sempre eliminare $x^2$ e potenze superiori di $x$. Questo è analogo all'utilizzo di$i^2=-1$ per eliminare potenze superiori di $i$quando si lavora con numeri complessi. È possibile verificare che gli elementi diversi da zero di questo nuovo campo formino un gruppo di ordine ciclico$3$: $$ 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5,\ldots=1, x, x+1, 1, x, x+1, \ldots. $$
Nota che i campi finiti sono unici fino all'isomorfismo.
Spero che sia di aiuto.
Se $k$ è un campo finito, quindi l'omomorfismo dell'anello $$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow k,z\mapsto z\cdot1$$ dove $z\cdot 1=\underbrace{1+...+1}_{z}$ per $z$ non negativo e $z\cdot 1=\underbrace{-1+(-1)...+(-1)}_{-z}$ per $z$ negativo, dove $\underbrace{1+...+1}_{0}=0$ è la somma vuota, deve avere un kernel non banale, altrimenti $\varphi$ sarebbe iniettivo e $\mathbb{Z}$è infinito. Adesso$\mathbb{Z}$ è un dominio ideale principale, e quindi il kernel deve essere della forma $(p)=\{zp:z\in\mathbb{Z}\}$ per alcuni $p\neq 0$ e ora è facile vedere che il quoziente $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/(p)$ è solo un dominio integrale se $p$è il primo stesso. Poiché una sottoroga di un campo è un dominio integrale, il kernel deve quindi essere$(p)$ per un primo $p$, chiamato la caratteristica di $k$ e il quoziente di cui sopra è l'immagine di $\mathbb{Z}$ in $k$. Adesso$k$ è uno spazio vettoriale su questo sottocampo, che è anche chiamato campo primo, di dimensione finita, diciamo $$\dim_{\mathbb{Z}_p}k=n$$ poi $k$ ha esattamente $p^n$ elementi.