Cosa distingue i termini "relazione", "funzione" e "mappatura"?

Question

In questo contesto il primo dominio$\theta_1\left(f\right)$e secondo dominio$\theta_2\left(f\right)$rappresentano l'insieme di elementi pre-immagine e l'insieme di elementi dell'immagine, gamma AKA .
Quanto segue è tratto da BBFSK , Parte A, Sezione 8.4:

Una classe importante di relazioni è costituita dalle funzioni , definite dal requisito di unicità$\forall_{x}\forall_{y}\forall_{z}\left(\left(xry\land xrz\right)\implies y=z\right).$ [$\dots$] La funzione $f$è una mappatura del primo dominio$\theta_1\left(f\right)$ nel secondo dominio$\theta_2\left(f\right)$: Se $\theta_2\left(f\right)$ è contenuto in un set $\mathcal{A},$ lo diciamo noi $f$è una mappatura in $\mathcal{A}.$

Apparentemente è qui che introducono il termine mappatura , e dall'enfasi sull'uso del corsivo, presumo che sia inteso come una definizione. È corretto intenderlo come: il termine mappatura indica una corrispondenza tra due insiemi, o tra un insieme e se stesso in modo tale che l'insieme di elementi dell'immagine sia il secondo dominio$\theta_2\left(f\right)$ di una funzione $f$. In particolare, per ogni elemento argomento (pre-immagine) c'è esattamente un elemento immagine (definizione di funzione ). In altre parole, tutte le mappature sono a valore singolo.

Inoltre, ciò distingue tra il termine mappatura e funzione in quanto una mappatura ha un codominio che non è necessariamente coperto da elementi dell'immagine, mentre una funzione copre necessariamente il suo secondo dominio.

Sono particolarmente interessato a questa domanda in quanto riguarda l'informatica e campi come lo schema di database relazionali e UML. Prima pensavo che esistesse una mappatura molti-a-molti . Apparentemente l'uso del termine relazione riguardante le corrispondenze molti-a-molti è coerente con l'uso matematico, ma il termine mappatura dovrebbe essere limitato alle relazioni molti-a-uno, dove molti possono essere uno.

È corretto?

Answer 1

La mappatura dei termini descrive semplicemente il verbo di ciò che la funzione fa al suo dominio sul suo codominio. Cioè, la funzione mappa il primo dominio sul secondo dominio, poiché è ovviamente suriettiva sulla sua immagine, e se il secondo dominio è contenuto in un altro insieme, diciamo che mappa in quell'insieme, anche se non è suriettivo.

Quindi, una mappatura e una funzione sono le stesse cose. Nessuno definisce una funzione come un essere suriettivo nel suo secondo dominio.

Come ultima nota, nessuno chiama questi termini primo dominio e secondo dominio. Se abbiamo una funzione

$f: A \rightarrow B$

lo diciamo noi $A$ è il dominio e $B$ è il codominio.

Per quanto riguarda le relazioni molti-a-molti, questa è esattamente solo una relazione e non necessariamente una funzione, poiché una funzione ha solo un output per input. Esiste il concetto di funzioni multivalore, ma per ora non me ne preoccuperei.