Cosa si intende per logica "debole"?

Aug 18 2020

La Stanford Encyclopedia of Philosophy, sv "Modal Logic" , afferma:

Le logiche più familiari nella famiglia modale sono costruite da una logica debole chiamata K (dopo Saul Kripke) ...

I riferimenti a "debole" e "debolezza" sono relativamente frequenti nelle domande poste su questo sito web, ad esempio la logica debole del secondo ordine . Ma né le risposte fornite sotto quel particolare titolo né le spiegazioni di debolezza come quella fornita sotto Cosa si intende per assioma "più debole" di un altro? spiegami quale potrebbe essere la debolezza di "una logica" o di qualche altro intero sistema.

Cosa si intende per "logica debole"?

Risposte

6 lemontree Aug 18 2020 at 16:46

Una logica è più forte quanto più teoremi dimostra, e come corollario, meno modelli ha.
Più assiomi ci sono e più specifico è un assioma (nel senso che A è più specifico di B se A implica B ma B non implica A), più formule saranno deducibili da questi assiomi: Una logica è forte nel senso che riesce a provare molte frasi.
D'altra parte, più una teoria richiede per essere vera, più difficile diventa per una struttura soddisfare tutti gli assiomi, quindi meno modelli ci saranno: una logica è forte nel senso che riesce a dare il via molte strutture e lascia solo poche possibilità di come potrebbe essere l'universo.

La logica modale K ha solo una regola e un assioma, o in termini di relazione di accessibilità, nessun vincolo. Quindi qualsiasi struttura modale può soddisfare questa teoria, e non ci sono molti teoremi che possono essere derivati ​​da questo solo assioma, e riescono ad essere universalmente veri in tutte queste molte strutture, in questo contesto più generale.
Aggiungendo più assiomi o vincoli alla relazione di accessibilità, vengono escluse più strutture. Così più frasi possono essere provate, e riescono ad essere vere in tutti quei pochi modelli, in questa teoria più specifica. Teorie come T, S4, S5 sono quindi più forti di K.

Si noti che questa definizione si rompe se la logica è incoerente e incorpora la legge classica dell'esplosione: allora la logica prova ogni affermazione, e non ha modelli - che secondo i criteri di cui sopra la renderebbero indefinitamente forte; ma questo non è ciò che vorremmo intuitivamente, perché una tale logica è banale. (Anche se si noti che questo trattato classico non è una necessità: ci sono logiche che non fanno esplodere automaticamente teorie inconsistenti; cfr. Logica paraconsistente).