Dato positivo $x,y$ tale che $x > y$ e $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, trova il minimo $(x+y)$

Question

Mi vengono dati numeri positivi $x, y$ tale che $x > y$ e $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Devo trovare il valore minimo di$(x+y)$. Ecco il mio tentativo. Ho usato la disuguaglianza AM-GM per i numeri non negativi

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Quindi, sono stato in grado di arrivare a questa conclusione. Ma sono bloccato qui. Qualsiasi aiuto ?

Grazie

Answer 1

Di AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ che dà $$x+y\geq4.$$ L'uguaglianza si verifica per $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ e $4xy=(x-y)^2,$ che dà $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ che dice che abbiamo un valore minimo.

Answer 2

mettere $x=r^2{cos}^2a$ e $y=r^2{sin}^2a$ anche lasciare $a$ appartiene a $[0,\frac{\pi}{2}]$

quindi dobbiamo trovare il valore massimo di $r^2$

inserendo i valori nell'equazione data e semplificando utilizzando le formule trigonometriche di base che abbiamo $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ o

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

Suggerimento: put $x=\alpha \cosh^2(x)$ e $y=\alpha\sinh^2(x)$ la condizione diventa:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

L'espressione è:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

Risolvendolo abbiamo trovato $x+y\geq 4$.

Answer 4

Suggerimento.

Fabbricazione

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

noi abbiamo

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

così

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

eccetera.

Answer 5

Dato $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

permettere $yx=c$ , dove $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Lascia una funzione $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$essere definito. Poi$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ a una costante $x$ ci da $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (utilizzando $[1]$). Così,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

quando $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ come sottolineato.