Dato un campo $\mathbb F$, c'è un campo più piccolo $\mathbb G\supseteq\mathbb F$ dove ogni elemento in $\mathbb G$ ha un $n$th radice per tutti $n$?
Il campo base $\mathbb F$ probabilmente non è importante, ma sto usando le espressioni razionali sul campo binario, $\mathbb F=\mathbb F_2(x)$.
Un sottocampo di $\mathbb G$ consiste di rapporti di polinomi nelle radici di $x$, con coefficienti in $\mathbb F_2$, ad esempio
$$\frac{x^{2/5}+x^{-1/3}+x^2}{x^{-2/3}+1}=\frac{x^{16/15}+x^{1/3}+x^{8/3}}{1+x^{2/3}}=\frac{\sqrt[15]x^{40}+\sqrt[15]x^{16}+\sqrt[15]x^5}{\sqrt[15]x^{10}+1},$$
e tali espressioni vengono aggiunte e moltiplicate usando le normali regole per le funzioni razionali, e $x^ax^b=x^{a+b}$ per $a,b\in\mathbb Q$.
Squadratura e radici quadrate sono lineari sopra$\mathbb F_2$, quindi possiamo semplicemente dimezzare gli esponenti su $x$per ottenere una radice quadrata dell'espressione. Quindi, qualsiasi$2^n$la radice esiste sempre. Per esempio,
$$x+1=(x^{1/2}+1)^2=(x^{1/4}+1)^4=(x^{1/8}+1)^8.$$
Ma questo non funziona per altri $n$th radici; non è possibile scrivere
$$x+1=\frac{p(x^{1/m})^3}{q(x^{1/m})^3}$$
dove $p,q$ sono polinomi e $m\in\mathbb N$. Quindi è necessario unirsi formalmente$\sqrt[3]{x+1}$ al campo, o invece $\sqrt[3]{x^{1/2}+1}$, eccetera.
C'è un campo unico e ben definito $\mathbb G$ di tali espressioni algebriche finite $\mathbb F$?
Nota che non voglio $n$ diverso $n$th radici di ogni elemento, solo una singola radice (a meno che $\mathbb F$ha già radici di unità; ma ho scelto$\mathbb F_2$ per evitare questo).
Data la chiusura algebrica $\mathbb A\supseteq\mathbb F$, potremmo semplicemente prendere l'incrocio $\mathbb G\overset?=\bigcap\{\mathbb B\}$ di tutti i campi intermedi $\mathbb A\supseteq\mathbb B\supseteq\mathbb F$ con la proprietà $\forall n\in\mathbb N,\,\forall a\in\mathbb B,\,\exists b\in\mathbb B,\,a=b^n$. Ma questo non funziona perché campi diversi hanno radici diverse$a$, quindi la loro intersezione non contiene radice di $a$. Presumibilmente c'è un modo per usare l'assioma della scelta per costruire$\mathbb G$, sia attraverso $\mathbb A$o direttamente da $\mathbb F$. È questo il caso? La prova dell'esistenza Wiki (non l'ho seguita in dettaglio) può essere modificata per dare$n$th radici di tutto senza introdurre nuove radici di unità? E per quanto riguarda l'unicità?
C'è una costruzione più semplice di $\mathbb G$ per il caso speciale di $\mathbb F_2(x)$, che non usa l'assioma della scelta? Qui non ho bisogno di unicità. Vedi ad esempio questa risposta ; useremmo polinomi della forma$x^p-a$che sono irriducibile sopra il campo definito dai polinomi precedenti.
Avendone diversi $n$th radici di $a\neq0$ è equivalente ad avere un file $n$th radice di unità: If $x_1^n=x_2^n=a$ e $x_1\neq x_2$, poi $(x_1/x_2)^n=1$ e $(x_1/x_2)\neq1$. Al contrario, se$\omega^n=1$ e $\omega\neq1$, e $x_1^n=a$, poi $(\omega x_1)^n=a$ e $x_1\neq\omega x_1$.
Se $\mathbb F$ ha una primitiva $mn$th radice di unità, quindi ha anche una primitiva $n$la radice dell'unità; quindi dobbiamo considerare solo i numeri primi. Correggi due numeri primi$p\neq q$. Se$\mathbb F$ ha una primitiva $p$la radice dell'unità $\omega_1$, poi $\mathbb G$ dovrebbe avere una primitiva $p^n$la radice dell'unità $\omega_n$ per tutti $n$, poiché non primitivo $p^n$le radici dell'unità non potranno mai raggiungere $\omega_{n-1}$ come un $p$esimo potere. Se$\mathbb F$ non ha una primitiva $q$la radice dell'unità, quindi $\mathbb G$ non dovrebbe neanche, dato che l'abbiamo già fatto $1^q=1$ e $(\omega_n^r)^q=\omega_n$ dove $r=q^{-1}\bmod p^n$.
Risposte
Bene, dalle mie chiacchiere nei commenti, è probabilmente chiaro che non ho compreso appieno la profondità di questo problema. Ma permettetemi comunque di fare alcune osservazioni, prima sul caso molto speciale$\mathbf F=\Bbb F_2(x)$. Succede, e alcune persone di grande esperienza sembrano non sapere questo, quel quando$\mathbf F$ è di grado trascendenza uno su un perfetto campo di caratteristiche $p$e non già perfetto, c'è esattamente un'estensione radiale (= puramente inseparabile, che è francese radiciel ) di ogni possibile grado$p^m$. Penso che questo dovrebbe chiarire il tuo pensiero su un'estensione chiusa con radice quadrata di$\Bbb F_2(x)$.
Secondo, lasciatemi solo sottolineare la difficoltà di descrivere qualsiasi costruzione per il vostro campo $\mathbf F=\Bbb F_2(x)$: per $d$ strano, le estensioni $\mathbf F(\sqrt[d]x\,)$ e $\mathbf F(\sqrt[d]{x+1}\,)$ non hanno niente a che fare l'uno con l'altro: la loro intersezione è il campo di terra $\mathbf F$. Attacca qualsiasi$\Bbb F_2$-polinomio irriducibile sotto il segno radicale e si ottiene un'altra estensione totalmente non correlata. Quindi, comunque, concettualmente, questo sta diventando un disastro; devi preoccuparti anche delle espressioni razionali.
Immagino che stavi pensando di specificare all'inizio che in ogni caso, il file $n$-esima radice di $1$ quello che scegli è $1$si. Anche se lo fai, non mi è chiaro che nella tua scelta molti non siano specificati$n$-th radici di altri elementi, potresti inavvertitamente indurre la presenza di altre radici di unità oltre $1$si. Questo in realtà semplificherebbe le cose, ma penso che tu stia rendendo le cose difficili per te stesso. Mi sembra che se all'inizio concordi sul fatto che tutte le radici dell'unità dovrebbero essere aggiunte (questo renderebbe il campo costante$\overline{\Bbb F_2}\,$, chiuso algebricamente), allora l'esistenza del tuo campo è ora facilmente visibile, anche se una costruzione esplicita rimarrebbe comunque un problema.
Ecco un buon punto di riferimento. Se$\Bbb F$ è un campo, e $\Bbb K$ è un'estensione di campo tale che:
- $\Bbb{K/F}$ è infinita dimensionale, e
- per ogni irriducibile $p\in\Bbb F[x]$, Se $p$ ha almeno due radici in $\Bbb K$, poi c'è un automorfismo di $\Bbb K$ (fissaggio $\Bbb F$) che è un completo squilibrio delle radici di $p$ in $\Bbb K$.
In questo caso, c'è un modello di $\sf ZF$ in cui c'è un campo che è "moralmente isomorfo a $\Bbb K$, ma non internamente isomorfo ad esso ". Vale a dire, aggiungiamo una nuova copia di $\Bbb K$, ma rimuoviamo l'isomorfismo e in effetti qualsiasi biiezione, preservando la struttura del campo e ogni estensione del campo $\Bbb F$ l'incorporamento ad entrambi sarà di dimensione finita.
Non è difficile vedere che il tuo "campo più piccolo" soddisferà queste proprietà, o per lo meno, possiamo trovare un campo del genere che garantirà che non esista alcun "campo più piccolo".
Invece di costruire una chiusura radicale $\Bbb{F}^{rad}$per intersezione, perché non costruirla con un processo di unione? Inizia con il tuo campo base$\Bbb{F}$ (nel tuo caso particolare, il campo base è $\Bbb{F}_2(x)$) che, per ipotesi, non è già radicalmente chiuso (o questo processo terminerà al primo passaggio, lol). Il tuo prossimo campo$\Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}$ è l'unione di tutte le estensioni radicali di $\Bbb{F}$, $$\Bbb{F}_1 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}(\sqrt[n]{a}) \right);$$ il campo successivo $\Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1$ è l'unione di tutte le estensioni radicali di $\Bbb{F}_1$, $$\Bbb{F}_2 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}_1} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}_1(\sqrt[n]{a}) \right);$$ e continuando in questo modo, acquisisci una sequenza di estensioni radicali $$... \supset \Bbb{F}_n \supset ... \supset \Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}.$$ Chiaramente l'estensione $\Bbb{F}_n/\Bbb{F}_{n-1}$sarà unico fino all'isomorfismo in ogni fase, e così l'intera catena lo è anche. Perciò$\Bbb{F}^{rad} := \bigcup_{n \geq 1} \Bbb{F}_n$ è unico fino all'isomorfismo e ad ogni elemento di $\Bbb{F}^{rad}$ ha un $n$th radice in $\Bbb{F}^{rad}$ per tutti $n \geq 2$.
Modifica: questo metodo a catena funziona ancora anche se, come nel caso di OP, vogliamo solo una radice per ogni elemento del campo. Inizia con il campo base$F := \Bbb{F}_2(x)$. Costruire$F_1 \supset F$ attraverso $$F_1 := \bigcup_{a \in F^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q)$$ dove evitare Axiom of Choice che consideriamo $a^q$, $q \in \Bbb{Q} \setminus \Bbb{Z}$, per essere "poteri" puramente formali degli elementi $a$ sotto appropriate relazioni di equivalenza, come: $$(a^n)^q \sim (a^q)^n \text{ for all } q \in \Bbb{Q}, n \in \Bbb{Z}, a \in F^\times,$$ $$a^q a^r \sim a^{q+r} \text{ for all } q, r \in \Bbb{Q}, a \in F^\times,$$ o $$(ab)^q \sim a^q b^q \text{ for all } a, b \in F^\times, q \in \Bbb{Q}.$$ Nella maggior parte dei campi, le questioni alla radice dell'unità renderebbero l'instaurazione di queste relazioni di equivalenza irte di difficoltà, ma poiché l'unica radice dell'unità $F = \Bbb{F}_2(x)$ è $1$di per sé, queste relazioni di equivalenza finiscono per comportarsi nel modo in cui vogliamo che siano, senza troppi problemi. (Modifica: dovremmo anche specificare quello$x \sim 0$ Se $x^n = 0$ per alcuni $n$.)
Continua a ripetere questa costruzione per ottenere un nuovo campo $F_{k+1}$ dal campo precedente $F_k$: $$F_{k+1} := \bigcup_{a \in F_k^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q),$$ dove aggiungiamo anche che le nostre relazioni di equivalenza dovrebbero obbedire $(a^q)^r \sim (a^r)^q \sim a^{rq}$ per tutti $a \in F_{k-1}$ e tutto $q, r \in \Bbb{Q}$. Quindi come prima otteniamo il campo desiderato dei radicali tramite$\bar{F} := \bigcup_{k \geq 1} F_k$e qualsiasi altro campo chiuso sotto i radicali e contenente il campo base $F$ deve contenere un campo isomorfo a $\bar{F}$, come $\bar{F}$ per costruzione contiene tutte le possibili espressioni radicali che potrebbero essere costituite da elementi di $F = \Bbb{F}_2(x)$ (o, comunque, elementi equivalenti allo stesso).