Debole $L^p$ convergenza per il passaggio al limite in approssimazione lineare a tratti della funzione di segno?
Ritenere $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ che è una versione smussata di $\mathrm{sign}$ funzione.
Supporre che $u_n \to u$ debolmente dentro $L^p([0,1])$ per tutti $p \in [1,\infty]$ come $n \to \infty$. È vero che$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ debolmente in alcuni $L^p$?
Risposte
Supponiamo $\epsilon \le 1$. Sopra$[0,1]$, permettere $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ sinistra [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ destra)$\\ 0 & if $x \ in \ sinistra [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ destra)$. } $$ Poi $u_n \rightharpoonup 2$ in $L^p([0,1])$ per $1 \le p < \infty$, ma $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.
Non ne sono sicuro $p = \infty$, ma dubito che questo controesempio funzioni.