Definizione della mappa $M \to \operatorname{Alb}(M)$

Question

Sto leggendo della varietà albanese nei Principi di geometria algebrica di Griffiths e Harris . Per una varietà complessa$M$, la varietà Albanese è definita come $$\operatorname{Alb(M)} := H^0(M, \Omega_M^1)^* / H_1(M, \mathbb{Z}).$$ C'è anche una mappa $\mu: M \to \operatorname{Alb}(M)$, definito prendendo un punto base $p_0 \in M$ e una base $\omega_1, \dotsc, \omega_q \in H^0(M, \Omega_M)$e impostazione $$\mu(p) := \left(\int_{p_0}^p \omega_1, \dotsc, \int_{p_0}^p \omega_q\right).$$

Le mie domande:

1. Cosa significa quella tupla? Voglio dire se scelgo una base di$H^0(M, \Omega_M^1)^*$, la tupla potrebbe essere i coefficienti degli elementi di base. Ma quale base scegliere? Un doppio a$\omega_1, \dotsc, \omega_q$?
2. È chiaro che la definizione non dipende dalla scelta di $\omega_1, \dotsc, \omega_q$?

Answer 1

La base è irrilevante. Fissare un punto base$p_0$ e $p$qualsiasi punto. Prendi un sentiero$\gamma$ a partire dal $p_0$ per $p$. Quindi, abbiamo per qualsiasi modulo 1$\omega$ l'integrale $\int_{\gamma} \omega$ che fornisce una mappa $(p,\gamma)\to H^0(\Omega^1)^*$ e quindi una mappa per $H^0(\Omega^1)^*/H_1(\mathbb{Z})$. Verificare che ciò non dipenda da$\gamma$ e quindi otteniamo una mappa da $M\to H^1(\Omega^1)^*/H^1(\mathbb{Z})$.

Answer 2

Una migliore definizione di $\mu$ è dato nella risposta da Mohan:

$$ \mu(p) = \int_{p_0}^p\cdot, \quad \text{i.e.} \quad \mu(p)(\omega) = \int_{p_0}^p \omega.$$

Per vedere che questo coincide con la definizione di Griffiths e Harris, scegli una base $\omega_1, \dotsc, \omega_q \in H^0(\Omega^1)$e una doppia base $\delta_1, \dotsc, \delta_q$. Scrivi$\omega = \sum_i c_i \omega_i$. Poi$$\mu(p)(\omega) = \int_{p_0}^p \omega = \sum_i c_i \int_{p_0}^p \omega_i = \sum_i \delta_i(\omega) \int_{p_0}^p \omega_i,$$ cioè $\mu(p) = \sum_i \delta_i \int_{p_0}^p \omega_i$.