Definizione logica con uguale e Legge di Identità in Suppes 'Introduzione alla logica
L '" Introduzione alla logica " di Patrick Suppes fornisce le regole per le definizioni formali nel capitolo 8. Le regole seguenti sono specificate per un nuovo simbolo di operazione con uguaglianza:
Un'equivalenza $D$ introduzione di un nuovo simbolo di operazione a n posti $O$ è una definizione corretta in una teoria se e solo se $D$ ha la forma:
$O(v_1, ..., v_n) = w \leftrightarrow S$
e sono soddisfatte le seguenti restrizioni:
(i)$v_1, ..., v_n, w$sono variabili distinte.
(ii)$S$ non ha variabili libere diverse da $v_1, ..., v_n, w$.
(iii)$S$è una formula in cui le uniche costanti non logiche sono simboli primitivi e simboli della teoria precedentemente definiti.
(iv) La formula$\exists !w[S]$ è derivabile dagli assiomi e dalle definizioni precedenti della teoria.
C'è anche una menzione precedente della Legge dell'identità :
Se x è qualsiasi cosa, allora $x=x$.
Supponiamo ora di avere la seguente definizione:
$$ \forall f,x,y[f_x = y \iff f \text{ is a function } \land \langle x,y \rangle \in f] $$
Supponiamo anche di avere funzioni definite in precedenza e coppie ordinate in modo tale da poterlo dimostrare $\exists !y[S]$ con extentionality, quindi segue la regola (iv).
Ecco il problema: entro i limiti di questo set di regole, sembra che si possa usare la Legge di Identità con qualsiasi variabile, diciamo$A$, per affermarlo $A_x=A_x$ e usalo per affermarlo $A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$e così via $A$è una funzione, anche se non ne sappiamo nulla. Quella logica può essere utilizzata con qualsiasi variabile, sia essa una relazione normale, un insieme semplice o anche un elemento ur, quindi questa deduzione deve essere sbagliata.
In un primo momento, ho pensato di infrangere la regola (iii), come l'affermazione "$A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$"contiene un simbolo non definito in precedenza, $A_x$, che è definito nell'istruzione stessa, quindi non sarebbe valido.
Tuttavia, considera la seguente definizione: $$ \newcommand\liff{\leftrightarrow} \newcommand\lif{\rightarrow} \newcommand\lfi{\leftarrow} \newcommand\ordp[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\mset[1]{\{ #1 \}} \newcommand\isRel[1]{#1 \text{ is a relation}} \newcommand\isFunc[1]{#1 \text{ is a function}} \newcommand\isOneOne[1]{#1 \text{ is one-one}} \mset{a} = p \iff \forall x[x \in p \liff x = a] $$
È unico per extentionality. Sembra una chiara conseguenza da ciò$\mset{a} = \mset{b} \lif a = b$, ma l'unico modo che vedo per dimostrarlo è usare $\mset{a} = \mset{b}$ ottenere $\forall x[x \in \mset{b} \liff x = a]$, che non sarebbe consentito se la mia interpretazione fosse corretta, quindi non credo che questa sia la risposta.
Il mio secondo istinto era che la regola (i) fosse infranta, quella $f_x = f_x$non conta come variabili distinte. Tuttavia, dalla definizione di cui sopra sembra anche che$a \in \mset{a}$dovrebbe seguire. L'unico modo che vedo per dimostrarlo è usare$\mset{a} = \mset{a}$ con la definizione, che non sarebbe consentita se così fosse, quindi non credo che sia la soluzione.
Quindi la mia domanda è: qual è il vero colpevole dell'errore?
Modifica: dopo una discussione estesa, aggiungo alcune informazioni per chiarire, si spera, di cosa si tratta e di cosa non tratta.
Non si tratta di teoria degli insiemi . Il mio problema riguarda il linguaggio formale della logica del primo ordine fornito dal libro. Per evitare di concentrarsi sulla teoria degli insiemi, fornirò un secondo esempio. Supponiamo di avere le seguenti affermazioni:
$$ \forall a,b,x,y[\text{isSingleChild}(x) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{parentsOf}(a,b,y) \Rightarrow x = y] \\ \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] $$
La prima affermazione lo garantisce $x$ è unico nella definizione di $\text{son}$.
La definizione di $\text{son}\{a,b\}$sembra seguire tutte le regole fornite. Non si intende affermare che qualsiasi variabile segua un predicato specifico, ma semplicemente affermare la loro relazione logica. Tuttavia, se lo usi insieme alla Legge dell'identità, puoi derivare:
$$ \newcommand{\fitch}[1]{\begin{array}{rlr}#1\end{array}} \newcommand{\fcol}[1]{\begin{array}{r}#1\end{array}} %FirstColumn \newcommand{\scol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %SecondColumn \newcommand{\tcol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %ThirdColumn \newcommand{\subcol}[1]{\begin{array}{|l}#1\end{array}} %SubProofColumn \newcommand{\subproof}{\\[-0.25em]} %adjusts line spacing slightly \newcommand{\fendl}{\\[0.037em]} %adjusts line spacing slightly \small \fitch{ \fcol{1:\fendl 2:\fendl 3:\fendl\fendl 4:\fendl 5:\fendl 6:\fendl 7:\fendl 8:\fendl } & \scol { \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \forall x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\\quad\iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \forall x[x = x] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\ \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \text{isAdult}(a) \\ \forall a [\text{isAdult}(a)] \\ } & \tcol{ \text{P} \fendl 1\ \forall\text{E}\ \fendl 2\ \forall\text{E}\ \fendl\fendl \text{T}\ \fendl 4\ \forall\text{E}\ \fendl 3,5\ {\liff}\text{E}\ \fendl 6\ {\land}\text{E}\ \fendl 7\ \forall\text{I}\ \fendl }} $$
Quindi da quella definizione, puoi dedurre che tutti sono adulti. Nota cosa non sto dicendo. Non sto dicendo che questo argomento sia valido, né lo difendo, sto dicendo che il set di regole fornito nel libro lo consente (probabilmente non lo è, ma non vedo alcuna regola di deduzione logica infranta). So che l'argomento è illogico, ma le regole formali vengono seguite . La mia domanda non riguarda la validità dell'argomento, ma la validità del sistema fornito nel libro.
Si noti inoltre che l'affermazione non riguarda la teoria degli insiemi, né la "teoria della famiglia", ma la logica stessa . La mia affermazione è che (apparentemente) all'interno del sistema formale dato, si applica qualsiasi affermazione della seguente forma:
$$ \forall a,b,x[\text{entityFrom}\{a,b\} = x \iff \text{hasSomeProperty}(a) \land \text{uniqueRelation}(a,b,x)] \vdash \forall a[\text{hasSomeProperty}(a)] $$
Capisco che la definizione non implica la conclusione. Tuttavia, all'interno del sistema, la conclusione sembra essere deducibile da esso.
Ci sono solo tre opzioni. O il sistema formale fornito non è valido, la definizione in realtà implica la conclusione, oppure sto perdendo / interpretando erroneamente alcune regole sulla Legge di Identità / Regole per la definizione / Regole per quantificatori.
Il libro e ha più di 50 anni, eventuali sviste nel sistema sarebbero state notate a questo punto (è stato scritto anche da Suppes, quindi dubito che ce ne siano), quindi sono sicuro che non sia il primo. Anche le definizioni sembrano ben formate e sembrano non dovrebbero portare direttamente alla conclusione, quindi probabilmente non è anche la seconda. Portando alla conclusione che probabilmente sto mancando o interpretando male alcune clausole / regole che renderebbero quell'argomento non valido. La domanda è: quale?
Cosa non risponderà alla domanda:
- "Nella teoria degli insiemi, le funzioni hanno un dominio specifico e devono avere [alcune proprietà degli insiemi], quindi non è possibile che tutte le variabili siano funzioni".
- "La tua definizione di genitorialità non descrive correttamente l'idea di genitori, poiché non implica che tutti i bambini abbiano genitori e [alcune proprietà di genitorialità], quindi le definizioni non sono descrizioni corrette."
La soluzione non può riguardare l'insufficienza dell'argomento in una teoria specifica, che non arriverà alla radice del problema. Un contesto specifico può essere utilizzato come esempio, ma la soluzione deve essere a livello del linguaggio formale.
Cosa potrebbe rispondere alla domanda:
- "Il set di regole fornito dal libro è in realtà incompleto, perché una definizione con uguaglianza contenente [alcune proprietà sintatiche] può portare a un errore. Tuttavia, puoi evitarlo aggiungendo una nuova regola che richiede che la tua definizione abbia [nuovo limite di definizione] "
- "Le tue definizioni implicano logicamente la conclusione. Pensaci, se la tua definizione è [questo], allora [spiegazione del motivo per cui la definizione dovrebbe portare logicamente alla conclusione], quindi l'argomento e la conclusione sono validi. Dubito che sia quello che intendevi Concludo con la tua definizione però. Penso che quello che intendi veramente sia [definizione ben educata]. " $^{\dagger}$
- "Hai interpretato male la regola [n], forse pensi che significhi [interpretazione] quando in realtà dice [interpretazione diversa]. Se lo prendi in considerazione, la riga [x] del tuo argomento non è valida."
- "Stai dimenticando che non puoi sostituire i termini definiti come fai con le variabili. Puoi sostituire un termine definito solo se si applica [qualche condizione sintatica], quindi il passaggio $3$ della tua detrazione non è valida. "
- "La legge dell'identità non richiede solo l'unicità, ma anche [una proprietà variabile], quindi potresti non usarla come in linea $5$, poiché la variabile nella tua definizione non segue questo vincolo. "
La tua risposta non deve necessariamente essere una delle precedenti. Sto solo presentando i tipi di risposte che ritengo molto probabilmente utili: risposte che si concentrano sul linguaggio formale.
Grazie per aver letto fino alla fine e spero che questo renda abbastanza chiaro il problema che voglio risolvere.
$\dagger$Come sottolineato da Mauro ALLEGRANZA, questo caso ha particolarmente senso. Come ha detto lui:
Pensaci: ci sono assiomi nella tua teoria che dicono che non tutti gli oggetti sono adulti?
Con cui sono d'accordo. Tuttavia, c'è un problema: il set di regole non dovrebbe consentirlo .
In precedenza nello stesso capitolo, prima che le regole siano stabilite, viene definito il loro obiettivo . I " Criteri per una corretta definizione ". L'obiettivo è separare un assioma da una definizione. Il primo ( Criterio di eliminabilità ) non è importante per questa discussione, ma il secondo lo è.
Il Criterio di Non Creatività afferma che una definizione$S$ non è creativo se e solo se:
Non esiste una formula $T$ in cui il nuovo simbolo non si verifica in modo tale $S \rightarrow T$ è derivabile dagli assiomi e dalle definizioni precedenti della teoria ma $T$ non è così derivabile.
L'obiettivo del set di regole è garantire che le nostre definizioni seguano entrambi questi criteri. Come affermato a pagina 155: "[...] ci rivolgiamo al compito di stabilire regole di definizione che garantiscano il soddisfacimento dei due criteri di eliminabilità e non creatività "
Nel mio esempio di genitorialità, abbiamo la prima affermazione come assioma e la seconda come definizione. Tuttavia, all'interno di quella teoria, l'affermazione$\forall a [\text{isAdult}(a)]$ non contiene il nuovo simbolo ed è derivabile dalla nuova definizione, ma non dai soli assiomi, che renderebbero creativa la definizione.
Quindi in quel caso, la mia domanda diventa: come mai la definizione è creativa, quando si suppone che le regole garantiscano la non creatività?
Risposte
Il set di regole fornito dal libro non è incompleto. Anche la derivazione di esempio che dai regge al controllo. Ottieni conclusioni (apparentemente) paradossali perché la restrizione (iv) in realtà non vale in nessuno dei tuoi esempi.
Nel tuo primo esempio, la formula $S$ denota quanto segue: "$v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2$Quindi la restrizione (iv) non è soddisfatta a meno che il seguente non sia un teorema della teoria in esame:
$$\exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
che, da allora $v_1,v_2$ sono variabili libere distinte, vale precisamente se
$$\forall v_1. \forall v_2. \exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
è anche un teorema della tua teoria. Inutile dire che quest'ultima affermazione non è affatto un teorema di una teoria degli insiemi ragionevole. In particolare, implicherebbe "$\forall v. v \text{ is a function }$" da solo.
Nel tuo secondo esempio, la formula $S$ denota quanto segue: "$\text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w)$". Come sopra, la restrizione (iv) non è soddisfatta a meno che il seguente non sia un teorema della teoria in esame:
$$ \forall v_1. \forall v_2. \exists! w. \text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w) $$
Ma se la frase data sopra è un teorema della tua teoria, allora puoi già provare (direttamente, partendo dalla frase sopra come premessa, e usando $\forall E$, $\wedge E$ e $\forall I$) quello $\forall v_1. \text{isAdult}(v_1)$ è un teorema della tua teoria.