$\Delta ABC$ ha altezze $AD,BE,CF$ e circumradius R, dimostrare $(DEF)=\frac12R^2\sin2A\sin2B\sin2C$

Question

Se il triangolo acuto $\Delta ABC$ ha altezze $AD,BE,CF$ e circumradius R, dimostrare le seguenti formule per l'area:

$(ABC)=2R^2\sin A\sin B\sin C$

$(DEF)=\frac12R^2\sin2A\sin2B\sin2C$

Con il primo non ho avuto problemi, ho usato la Legge del seno e quella$(ABC)=\frac12ab\sin C$. Ho problemi con il secondo

L'unica cosa a cui riesco a pensare è quella $\Delta AOC, \Delta AOB, \Delta BOC$ sono isoscele, con $O$ essendo il centro del triangolo.

Posso ricevere aiuto?

Answer 1

Abbiamo, $[DEF]=[ABC]−[AEF]−[BFD]−[CDE]$

---

Considera il $\triangle AEF$, $$[AEF]=\frac{1}{2}AQ\cdot AR\cdot\sin A.$$

Ma questo lo sappiamo $[ABC]=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin A,$ e così $\sin A=2\frac{[ABC]}{bc}.$

Sostituendo, otteniamo $$[AEF]=\frac{AE\cdot AF}{b\cdot c}[ABC].$$

Ma se guardiamo i triangoli ad angolo retto $FAC$ e $BAE$, Lo vediamo $$\cos A=\frac{AF}{b}=\frac{AE}{c},$$

e sostituendo dà $$[AQR]=\cos^2A[ABC].$$

---

Allo stesso modo, $[BDF]=\cos^2B[ABC]$ e $[CED]=\cos^2C[ABC].$

Finalmente, $$[DEF]=[ABC]−[AEF]−[BDF]−[CDE]=(1−\cos^2A−\cos^2B−\cos^2C)[ABC].$$

Ora, devi solo dimostrarlo $$1−\cos^2A−\cos^2B−\cos^2C=2\cos A\cdot\cos B\cdot\cos C$$Puoi verificarlo qui .

Answer 2

$$\measuredangle FED=\measuredangle FEB+\measuredangle DEB=\measuredangle FAD+\measuredangle DCF=90^{\circ}-\beta+90^{\circ}-\beta=180^{\circ}-2\beta.$$ Inoltre, da allora $$\Delta AFE\sim\Delta ACB,$$ otteniamo: $$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AC}=\cos\alpha,$$ che dà $$FE=BC\cos\alpha=2R\sin\alpha\cos\alpha=R\sin2\alpha.$$ Allo stesso modo, $$DE=R\sin2\gamma.$$ Ossia, $$S_{\Delta FED}=\frac{1}{2}R\sin2\alpha\cdot R\sin2\gamma\cdot\sin(180^{\circ}-2\beta)=$$ $$=\frac{1}{2}R^2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma.$$