Derivata in base covariante e controvariante

Question

Come dimostrarlo

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

dove$\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$e$\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$sono la base e il vettore base duale di qualche varietà?

Qualche suggerimento?

Grazie!

Answer 1

Dove hai trovato questa affermazione? La prima espressione${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$non è covariante. Se uno ha scritto invece${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$allora ha senso perché il simbolo di Christoffel è definito da$$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$dando

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$e con$\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $e con l'azione della derivata covariante su un essere covettore$\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$noi abbiamo$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$Quindi differiscono almeno per il segno meno.

(scusa se continuo a modificare -- continuo a fare errori stupidi)