Determina se $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ convergere

Question

Devo determinare se $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ convergere / divergere.

La mia intuizione è che gli integrali convergono, perché $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ convergono dal test di Dirichlet, quindi l'aggiunta di $ \frac{1}{x} $ non dovrebbe fare molta differenza per $ x\to\infty $.

Immagino che il modo giusto per dimostrarlo sia dimostrarlo $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ è limitato per qualsiasi $ u $e poi potrei usare il test di Dirichlet. Ho provato e non sono riuscito a provarlo.

Inoltre, mi piacerebbe sapere cosa ne pensi della mia prova che l'integrale $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ convergere.

Ho utilizzato il test di confronto dei limiti nel modo seguente:

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

e da allora $ 0.8 <1 $ l'integrale $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ convergono, quindi l'integrale $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ convergono in modo assoluto.

Apprezzerò un po 'di aiuto qui. Grazie in anticipo

Answer 1

Inizia con la formula dell'addizione dell'angolo:

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

e notare che il secondo integrale improprio è convergente da allora $\sin(1/x)\lt1/x$ (per $x\gt0$) e $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$converge. Quindi resta da dimostrare che anche il primo integrale improprio è convergente.

A tale scopo, utilizzare l'integrazione per parti con $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ e $dv=\sin x\,dx$, così che $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ e $v=-\cos x$:

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

dove gli ultimi due integrali impropri sono nuovamente convergenti.

Per quanto riguarda l'integrale improprio da $0$ per $1$, la dimostrazione dell'OP è OK ma più complicata del necessario; è sufficiente notare che${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.

Answer 2

Puoi semplicemente lasciarlo $x+\frac{1}{x}=z$ e prendi $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ dove $g(z)$ si comporta come $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ in un giusto quartiere di $z=2$ e sta diminuendo $z>2$, da $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ sta chiaramente diminuendo $\mathbb{R}^+$. Ne consegue che anche qui puoi applicare il lemma di Dirichlet.