Determina tutto $a$ così che $\langle .,.\rangle^{'}$ definisce un prodotto interno e trova per questi valori una base ortonormale di $\mathbb{R^2}$

Question

Permettere $V$ essere uno spazio vettoriale e $W$ uno spazio prodotto interno con un prodotto interno $\langle.,.\rangle$.

Permettere $T : V \rightarrow W$essere un'immagine lineare. Definire$\langle u,v\rangle^{'} = \langle T(u),T(v)\rangle$ con $u,v \in V$

L'ho già dimostrato $\langle .,.\rangle^{'}$ definisce un prodotto interno su $V$se e solo è T è uno a uno. Ma la seconda domanda su questo mi confonde.

b) Let $a \in \mathbb{R}$. Dillo$V=W=\mathbb{R^2}$ e $T: \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}: X \longmapsto AX$ con $$A = \begin{bmatrix}3&3a\\\ 0& a\\ \end{bmatrix}$$

Permettere $\langle .,.\rangle$ essere il prodotto interno standard su $\mathbb{R^2}$.

Determina tutto $a$ così che $\langle .,.\rangle^{'}$ definisce un prodotto interno su $\mathbb{R^2}$ e trova per questi valori una base ortonormale di $\mathbb{R^2}$ con il prodotto interno $\langle .,.\rangle^{'}$.

Non vedo come gestire questa domanda, ma penso che per la seconda parte devo solo usare Gram Schmidt?

Answer 1

Nota che \ begin {align} \ textrm {$\langle \cdot,\cdot \rangle'$ è un prodotto interno in $\mathbb R^2$} & \ \ Leftrightarrow \ \ textrm {$T$ è iniettivo} \\ & \ \ Leftrightarrow \ \ textrm {il kernel di $T$ è banale} \\ & \ \ Leftrightarrow \ \ textrm {if $T(X)=0$ poi $X=0$} \\ & \ \ Leftrightarrow \ \ textrm {if $\begin{bmatrix}3&3a\\0&a\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ poi $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$} \\ & \ \ Leftrightarrow \ \ textrm {if $x_1 \begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}3a\\a\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ poi $x_1=0$ e $x_2=0$} \ end {align} quindi, è sufficiente trovare tutti i valori di$a$ per cui i vettori $$\textrm{$\ begin {bmatrix} 3 \\ 0 \ end {bmatrix}$ and $\ begin {bmatrix} 3a \\ a \ end {bmatrix}$}$$sono linearmente indipendenti. Puoi usare il tuo metodo preferito per questo! E per la seconda parte, sì, puoi applicare il processo Gram-Schmidt ai vettori unitari standard$$\textrm{$\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}$ and $\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}$}$$ con il nuovo prodotto interno $\langle \cdot,\cdot \rangle'$.