Determinare la convergenza di una serie.
Ecco la serie:$$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$Il metodo che utilizzo per determinare questa serie è il test di confronto che consiste nel costruire la seguente sequenza:$$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Che forma una serie convergente in cui ogni termine è maggiore dei termini nella serie sopra, quindi determino che la serie sopra è convergente. Tuttavia, non so se ho ragione o meno. Pertanto, se sbaglio, per favore dimmi come farlo correttamente o se ho ragione, per favore conferma con me o forniscimi un metodo alternativo per determinare la convergenza delle serie sopra per la discussione. Grazie.
Risposte
Onestamente, a meno che non ci sia un'istruzione esplicita per utilizzare qualche test, preferisco pensare a questo tipo di serie in termini di test di confronto limite (LCT) , invece del test di confronto (CT).
La solita affermazione della LCT è qualcosa del genere: Supponiamo che$\{ a_n \}$e$\{ b_n\}$sono sequenze con$a_n \ge 0$,$b_n > 0$per tutti$n$. Se$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$esiste ed è diverso da zero, allora$\sum a_n$e$\sum b_n$convergere insieme o divergere insieme.
L'LCT si preoccupa meno della direzione della disuguaglianza (a differenza del CT in cui devi verificare alcune disuguaglianze che possono essere fastidiose) e più degli asintotici, il che lo rende molto più potente. Per quanto riguarda la ricerca dell'appropriato$b_n$usare come termine di paragone? L'idea usuale è guardare i termini più dominanti (cioè i termini che esplodono all'infinito più velocemente) nel numeratore e nel denominatore.
Nel tuo esempio, il termine dominante nel numeratore è$\sqrt{n}$, mentre il termine dominante nel denominatore è$n^8$. Questo suggerisce che usiamo$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, che funziona davvero bene qui. Noi abbiamo$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, e lo sappiamo$\sum b_n$converge per il$p$-test. Quindi, anche la serie originale.
Questo metodo ha il proprio nome Test di confronto diretto e afferma quanto segue:
Se serie$\sum b_n$converge e$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$per sufficientemente grande$ N \in \mathbb{N}, n> N$, poi$\sum a_n$anch'esso converge.
Tiene$\sum a_n \leqslant \sum b_n$se il confronto è$\forall n \in \mathbb{N}$.
Se$\sum a_n$diverge, quindi$\sum b_n$è divergente.
Nel libro: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012)- pagina 105, Teorema 9.
La tua soluzione va bene, ma ti senti un po' insicuro, lascia che ti mostri perché il test funziona: una serie$\sum_{k= 1}^\infty a_k$, per definizione, rappresentano il limite della successione delle sue somme parziali$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, per$s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
Quando ciascuno$a_k$è positivo allora la successione$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$è una successione di numeri reali positivi strettamente crescente e quindi si può dimostrare che converge se e solo se è limitata .
Se$a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$allora è facile vederlo$0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$per ciascuno$k\in \mathbb N $, e così
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
$\Box$