Determinazione dell'anello locale di una curva
Determina l'anello locale $\mathcal{O}$ a $(0,0,0)$ della curva costituita dai tre assi di coordinate in $\mathbb{A}^3$. Quindi, determinare l'anello locale a$(0,0)$ della curva $xy(x - y)= 0$ e dimostrare che questa seconda curva non è isomorfa alla prima.
Il mio tentativo Per definizione dell'anello locale,$\mathcal{O}$ poiché la prima curva è l'insieme di tutte le funzioni razionali $f/g$ tale che $g$non svanisce su tre assi. Per quanto riguarda la seconda curva, l'anello locale è l'insieme di tutte le funzioni razionali$f/g$ tale che $g$ non svanisce a $x=0$ o $y=0$ o $x=y$. È questo ciò che l'esercizio chiede veramente o qui è richiesta una descrizione più specifica dell'anello? Tuttavia, non riesco a pensare a nessuno. Riguardo all'isomorfismo tra le due curve, ho pensato di utilizzare il fatto che lo spazio tangente è un invariante locale: mostrando che i due spazi tangenti sono diversi, avrei dimostrato che le due curve non possono essere isomorfe. Potrebbe essere la strada giusta? Qualche suggerimento?
Risposte
L'anello locale in un punto, per definizione, è la localizzazione dell'anello delle coordinate all'ideale massimo corrispondente al punto. Quindi, ad esempio origine in$xy,yz,zx=0$ in $\mathbb{A}^3$, $$\mathcal{O}_{X,0}=\big(\mathbb{C}[x,y,z]/(xy,yz,zx)\big)_{(x,y,z)}$$ Quindi utilizzando il fatto che la localizzazione commuta con quozienti e che la localizzazione per $\mathbb{C}[x,y,z]$ a $(x,y,z)$ è semplicemente il subring $$\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z],\,g(0,0,0)\not=0\}\subset\mathbb{C}(x,y,z),$$ otteniamo la descrizione $$\mathcal{O}_{X,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z]\text{ that kills }xy,yz,zx,\,g(0,0,0)\not=0\}.$$ Allo stesso modo $$\mathcal{O}_{Y,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y]\text{ that kills }xy(x-y),\,g(0,0,0)\not=0\}.$$Mostrare che questi due anelli non sono isomorfi di solito è difficile. Hai sempre bisogno di cercare qualche tipo di invariante che sia diverso su due lati. Lo spazio tangente è molto buono, poiché di solito la dimensione (come spazio vettoriale) può differire.
Tuttavia ce n'è uno molto molto più importante qui, e cercherò di spiegarlo in modo intuitivo:
Pensiamo prima ai punti tripli spaziali. Come posso ottenere una funzione sull'intera cosa dalle funzioni su ogni pezzo? Bene, perché le tre linee si trovano$\mathbb{A}^3$, ci sono abbastanza funzioni (come funzione globale) per concordare con ogni componente. Finché le tre piccole funzioni concordano all'origine, dovrei essere in grado di rimetterle insieme per ottenere una funzione globale.
E i punti tripli planari? Questo è diverso: non puoi sperare che tre funzioni qualsiasi sui tre pezzi si incolli a una funzione globale, perché non ce ne sono molte! Le tre funzioni potrebbero non essere compatibili a causa delle limitazioni di$\mathbb{A}^2$. In particolare, questo è un esempio di quella che viene chiamata singolarità ellittica, e hai bisogno di condizioni extra oltre a concordare l'origine per incollarle.
La matematica corretta qui è il file $\delta$-variante di una singolarità, che è definita come la dimensione di $\pi_*(\mathcal{O}_{\tilde{C}})/\mathcal{O}_C$ dove $\pi:\widetilde{C}\to C$è la normalizzazione. Questo sarà diverso nei due casi qui.
Se stai usando lo spazio tangente, le due definizioni che fornisci sono le stesse. Il$(\mathcal{m}/\mathcal{m}^2)^\vee$è solitamente chiamato spazio tangente di Zariski. In particolare, nella localizzazione di$X$, l'ideale massimo unico è $(x,y,z)$, e $m/m^2=(x,y,z)/(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^2)$ che è tridimensionale come un file $k$-spazio vettoriale. D'altra parte in$Y$, $m/m^2=(x,y)/(x^2,y^2,xy)$è bidimensionale. Quindi sì, sono davvero diversi.