Diagrammi a nodi non alternati
Inizia con una curva chiusa e autointersecante, dove ogni incrocio è trasversale. Ora forma qualcosa come l'opposto di un diagramma a nodi alternati come segue. Partendo da qualsiasi punto, attraversa la curva e, ad ogni incrocio precedentemente non visitato, vai sopra/sopra. Se l'incrocio è stato visitato in precedenza, lasciare la designazione dell'incrocio assegnata.
Di seguito sono riportati due esempi. (a) è chiaramente lo scioglimento del nodo. (b) è anche lo snodo, forse non così ovvio.
Il cerchio rosso indica il punto di partenza, la freccia la direzione di attraversamento.
Mi aspettavo che questi diagrammi rappresentassero ovviamente lo snodo, ma non vedo una prova chiara. Così:
D. _ Dimostrare (o smentire) che un tale diagramma di nodi rappresenta sempre lo scioglimento del nodo.
Risposte
Un diagramma come quello che descrivi è chiamato diagramma discendente e in effetti risulta sempre nel nodo banale. Per una dimostrazione si veda il Lemma 3.2.10 dihttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. La risposta precedente ha l'idea giusta.
Questo è sempre lo scioglimento. Mi è stato presentato questo dal mio consulente, ma non credo che in origine sia nemmeno la sua argomentazione, quindi non so chi l'abbia fatto per primo.
Per vedere questo, useremo il fatto che il numero di ponte di un nodo è uno se il nodo è lo snodato.
Disegna la tua proiezione del nodo e scegli il punto di partenza. Trasformeremo questa proiezione in un diagramma semplicemente facendo degli incroci mentre attraversiamo la proiezione. Se la proiezione è disegnata in$x,y$aereo dove$z=0$, possiamo creare un nodo$\mathbb{R}^3$facendo ogni$i$-esimo nuovo incrocio che incontriamo in quota$z=i$. Così, quando abbiamo incontrato ogni incrocio nella proiezione e stiamo per tornare al primo incrocio, il nostro nodo nel 3-spazio deve ricadere da qualche punto alto$z$valore indietro a$z=0$.
Quello che abbiamo è una funzione di altezza in cui il nodo è strettamente crescente ovunque tranne che nel piccolo segmento tra l'ultimo incrocio e il primo incrocio. Quindi, c'è un massimo e un minimo e quindi un nodo ponte numero 1, lo snodo.
Non sono sicuro di quanto sia utile, dato che non sono un esperto, ma ecco un'idea che potrebbe essere giusta.
Innanzitutto, introduci la terza dimensione, perpendicolare al tuo disegno, e assicurati che il punto "iniziale" sia una proiezione di un segmento che va dritto "verso l'alto". Quindi, dovrebbe essere possibile posizionare il resto del nodo in modo che, costeggiando la linea, si scenda solo . Immagina uno skelter alla rinfusa (con una scala quasi verticale che sale) e avrai una buona idea di cosa intendo. Ora questo è un po 'ondulato, ma credo che tu possa semplicemente assegnare altezze fisse a ciascuna delle intersezioni, mentre le attraversi lungo la strada "giù", e poi estenderle a tutti gli altri punti sul nodo. (Es. se la parte "scala" sale dall'altezza$0$a$1$, per$n$intersezioni, mentre le attraversi due volte, puoi riservare le altezze$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$per i punti di "intersezione" sul nodo.)
Il resto dovrebbe essere il semplice calcolo per dimostrare che questo nodo può essere deformato in un nodo. Se l'equazione del nodo originale (la parte "slitta") è parametrizzata come$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, insieme a$\rho(0)=\rho(1)=0$, quindi deformarlo, per$\lambda\in[0,1]$in$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$dà il nodo originale, mentre$\lambda=0$dà un evidente snodo$x-z$aereo.