differenziabilità di $\int_{a}^{x}f$ in un punto di discontinuità di salto di $f$.

Question

Permettere $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ essere una funzione integrabile e sia $F(x)=\int_{a}^{x}f$. Se$c\in(a,b)$ è un punto di discontinuità di salto di $f$ poi $F$ non è differenziabile in $c$.

Non so come dimostrare che quel limite
$$\lim_{h\rightarrow0} \frac{F(c+h)-F(c)}{h}$$ non esiste ma sono riuscito a dimostrare che non può essere uguale a $f(c)$. Maby posso usare in qualche modo il teorema fondamentale del calcolo?
Qualcuno può aiutarmi e controllare il mio lavoro finora?

Il mio lavoro:
$$\frac{F(c+h)-F(c)}{h} = \frac{1}{h}\cdot\left(\int_{a}^{c+h}f-\int_{a}^{c}f\right) =\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f$$
$f$ non è continuo a $c$ quindi c'è un file $\epsilon>0$ tale che ogni $\delta>0$ Se $x\in(c-\delta, c+\delta)$ poi $f(c)+\epsilon\leq f(x)\leq f(c)-\epsilon$

Permettere $P=\{x_0,...,x_n\}$ essere una partizione di $[c,c+h]$.
$$\int_{c}^{c+h}f = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} m_i\cdot\Delta x_i$$(Integrale di Darboux)
Dove$m_i=\inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}$ e $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$
$f(x)\leq f(c)-\epsilon$ così $m_i\leq f(c)-\epsilon$.
Ce l'abbiamo$$\int_{c}^{c+h}f = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} m_i\cdot\Delta x_i\leq \lim_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}(f(c)-\epsilon)\Delta x_i = \lim_{n\rightarrow\infty}(f(c)-\epsilon)\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta x_i = (f(c)-\epsilon)\cdot (c+h-c)$$

Così $$\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f\leq(f(c)-\epsilon)$$
Quindi $$\lim_{h\rightarrow0} \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \neq f(c)$$

Answer 1

Ecco la mia soluzione:
vogliamo dimostrare che il limite:$$\lim_{h\to 0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}$$non esiste.
Lo farò mostrando che i limiti di sinistra e di destra non sono uguali tra loro.
$$\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=\frac{\int_{a}^{c+h}f-\int_{a}^{c}f}{h}=\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f$$

Permettere $L=\lim_{x\to c^{-}} f(x)$, R =$\lim_{x\to c^{+}} f(x)$
$c$ è un punto di discontinuità di salto di $f$ così $L\neq R$

Permettere $P=\{x_0,...x_n\}$ essere una partizione di $[c,c+h]$ e $(\xi_i)_{i=1}^{n}$ è una sequenza di punti tale che $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ così $$\int_{c}^{c+h} f=\lim_{\lambda(p)\rightarrow0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$ (Integrale di Riemann)

Supponiamo $h\rightarrow 0^{+}$

per ogni $\epsilon>0$ c'è un $\delta>0$ tale che se $c\leq x\leq c+ \delta$ poi$|f(x)-R|<\epsilon$
quindi se $h<\delta$, per ogni $c\leq x\leq c + h$ $\Rightarrow$ $|f(x)-R|\leq\epsilon$

Secondo la definizione di $(\xi_i)$ lo sappiamo $c\leq\xi_i\leq c+h$ per ogni io, quindi $|f(\xi_i)-R|\leq\epsilon$
Perché $\xi_i$ è un punto arbitrario in $[x_{i-1}, x_i]$ possiamo definirlo tale
$f(\xi_i)\leq R+\epsilon$

così $$\int_{c}^{c+h} f=\lim_{\lambda(p)\rightarrow0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i\leq\lim_{\lambda(p)\rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^{n} (R+\epsilon)\Delta x_i = (R+\epsilon)\cdot h$$

perciò

$$\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f\leq R+\epsilon$$

quindi $$\lim_{h\to 0^{+}}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f= R$$

Allo stesso modo possiamo dimostrarlo $$\lim_{h\to 0^{-}}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f= L$$

Lo sappiamo $R\neq L$ così $$R=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{F(c+h)-F(c)}{h} \neq \lim_{h\to 0^{-}}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=L$$

Quindi il limite $$\lim_{h\to 0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}$$ non esiste e F non è differenziabile in $c$