Difficoltà a comprendere il significato del paradosso di Grelling.
Background: sono un principiante di matematica, ma devo ancora iscrivermi all'università. Ho iniziato a leggere a caso l' Introduzione alla logica matematica di Mendelson , quando mi sono imbattuto in questo paradosso nella sezione introduttiva:
Il paradosso di Grelling: un aggettivo è chiamato autologico se la proprietà denotata dall'aggettivo vale per l'aggettivo stesso. Un aggettivo è detto eterologico se la proprietà denotata dall'aggettivo non si applica all'aggettivo stesso. Ad esempio, "polysyllabic" e "English" sono autologici, mentre "monosyllabic" e "French" sono eterologici. Considera l'aggettivo "eterologico". Se "eterologico" è eterologico, allora non è eterologico. Se "eterologico" non è eterologico, allora è eterologico. In entrambi i casi, l'eterologico è sia eterologico che non eterologico.
Mi piacerebbe capire quanto segue:
- Qual è la fonte dell'errore logico in questo paradosso? Se formulo un set$A$ di tutti gli aggettivi e sottoinsiemi $A_a$ e $A_h$ corrispondenti rispettivamente ad aggettivi autologici ed eterologici, allora potrebbe essere così $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, cioè non appartiene a nessuno dei due insiemi (a meno che $A_a\cap A_h=\emptyset$ e $A_a\cup A_h=A$).
- In una nota più leggera, mi piacerebbe conoscere il significato matematico di questo paradosso e come viene affrontato nelle moderne teorie sugli insiemi.
Anche se capisco che le risposte potrebbero essere molto astratte, aggiungi un'analogia più semplice insieme a una spiegazione tecnica necessaria, se possibile.
Risposte
Se $A, A_a,$ e $A_h$ in realtà "ha un senso" - più su questo di seguito - allora lo abbiamo chiaramente $A_a$ e $A_h$ partizione $A$: $A_h$ è definito essere $A\setminus A_a$. Quindi la tua proposta non funziona.
La soluzione è quella $A_a$ e $A_h$sono infatti più complicati di quanto sembri. Abbiamo solo un paradosso se c'è l'aggettivo "eterologico"$A$. Ma si scopre che questo non accade: fondamentalmente, per definire l'eretologicità dobbiamo usare un predicato di verità per$A$e non ne abbiamo uno in$A$stesso .
Ecco un modo per vedere il paradosso in azione.
Permettere $\ulcorner\cdot\urcorner$ sii la tua funzione di numerazione Godel preferita e lascia $Form$essere l'insieme di tutte le formule del primo ordine nel linguaggio dell'aritmetica. Per semplicità, scriviamo "$\mathbb{N}$"per la struttura $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Poi il set$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ la versione di $A_h$ per le formule aritmetiche del primo ordine, non può essere esso stesso definibile da una formula aritmetica del primo ordine: se $X$ sono stati definiti da una formula $\theta$ di aritmetica del primo ordine, cioè se avessimo $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ per qualche formula $\theta$ dell'aritmetica del primo ordine, si otterrebbe una contraddizione considerando se $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
Più in generale, possiamo generalizzare la particolare impostazione sopra a qualsiasi impostazione in cui abbiamo una logica $\mathcal{L}$, una certa struttura $\mathfrak{A}$e un meccanismo di "codifica" appropriato di $\mathcal{L}$-formule in $\mathfrak{A}$. Ottenere i dettagli corretti richiede un po 'di riflessione, ma il punto è che il paradosso di Grelling illustra un fenomeno fondamentale di "incremento" che non possiamo evitare: il set di Grelling per un particolare sistema di logica / struttura / codifica non è definibile in quella struttura da una formula di quella logica.
(Nota che $X$può infatti essere definito in contesti più ampi : ad esempio, è definibile in$\mathbb{N}$da una formula di logica del secondo ordine, ed è definibile da una formula del primo ordine nell'universo degli insiemi , di cui$\mathbb{N}$ forma un pezzo molto piccolo.)