Dimostra che se$a+b$è un numero irrazionale, quindi almeno uno di$a$o$b$è irrazionale.
Mi sono imbattuto in questa domanda in un libro. Ho provato a dimostrare la condizione come segue: Supponiamo che a e b siano razionali. Chiaramente la somma di$a$e$b$è razionale, il che contraddice la condizione, che è quella$a+b$è irrazionale. Quindi almeno uno tra a o b è irrazionale.
Ho la sensazione che ci sia qualcosa che non va. Sento che usare la prova contrapositiva qui potrebbe essere migliore, ma non ne sono sicuro perché sono nuovo nel mondo delle prove.
Risposte
L'affermazione che stai cercando di dimostrare è$\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Questa è semplicemente la traduzione simbolica dell'affermazione "per ogni$a,b$, Se$a+b$è irrazionale allora almeno uno di$a$o$b$è irrazionale".
Ecco, il comunicato$X$è "$a+b\notin \Bbb{Q}$", e la dichiarazione$Y$è "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Quindi, il contropositivo di "per ogni$a,b$($X \implies Y$)" è "per ogni$a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", che in questo caso è:
Per ogni$a,b$noi abbiamo ($a\in \Bbb{Q}$e$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
e questo è ciò che hai sostenuto.
Voglio rispondere al tuo commento "Non vedo come funziona il contropositivo qui".
Permettere$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$(l'insieme dei numeri irrazionali).
Vuoi dimostrarlo
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
Prima di passare alla contropositiva, nota che per$a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
Ora, il contropositivo diventa
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$che, alla luce dell'osservazione di cui sopra, è$$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
che è una proprietà determinante di$\mathbb{Q}$.
Ricorda anche quello$\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.