Dimostra che una sequenza $\{a_n\}_n$definito da $a_1=-\frac14$e $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$converge e trova il suo limite.

Question

Vorrei verificare il mio tentativo e la mia detrazione. Il compito è il seguente:

Dimostra che una sequenza$\{a_n\}_n$definito da$a_1=-\frac14$e$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$converge e trova il suo limite.

Questo è quello che ho finora:

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

Ho calcolato alcuni termini:

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

ho assunto$a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.

Poi, da$(1)$e$a_{n+1}<0$, segue

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

Quindi, induttivamente, se$\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$per alcuni$m\in\Bbb N,$noi abbiamo$\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

Quindi, la sequenza$\{a_n\}_n$è monotono e limitato e, quindi, convergente.

Inoltre, possiamo dimostrare un'affermazione più forte:

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

Inserendo il limite$(1)$, noi abbiamo$$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

Quindi,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.

C'è qualche errore nelle mie ipotesi e conclusioni e dovrei eseguire i passaggi in un ordine diverso?

So che non potrei provare$a_n<0\quad\forall n$per induzione dalla funzione$f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$definito da$$f(x)=-\frac4{x+4}$$non è monotono sull'intero dominio, solo su$(-\infty,-4)$e$(-4,+\infty)$separatamente.

Inoltre, quando ho pensato di scrivere$a_n=\frac{x_n}{y_n}$poi$$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$e supponendo$x_{n+1}=-4y_n$e$y_{n+1}=x_n+4y_n$, ho ottenuto la ricorrenza omogenea$$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$con un polinomio caratteristico$$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$con una radice multipla, quindi ho pensato di complicarmi eccessivamente.

Grazie mille!

Answer 1

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

Permettere$A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$Permettere$B_n=t^n$, poi$$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$Quindi$B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$,$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$Finalmente abbiamo la soluzione$(1)$come$$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$