Dimostra l'esistenza e l'unicità di un problema di Cauchy
Ho bisogno di aiuto per dimostrare l'esistenza e l'unicità del seguente problema di Cauchy:
\ begin {case} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {case}
Questo può essere riformulato come un sistema di primo ordine dove $f$ è definito come $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$
Per provare l'esistenza (locale) e l'unicità, devo dimostrarlo $f$ è localmente Lipschitz wrt $y$, (è l'RHS di un'ODE)
Calcolo:
$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$
Così per $|x| < a$ (cioè in un quartiere di $x_0=0$ io ho $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, quindi è localmente Lipschitz ( ma non a livello globale )
È tutto corretto?
Risposte
Hai la funzione $f(x,y)$sbagliato. Quello che devi fare è definire una terza variabile che funga da prima derivata di$y$. La funzione che desideri è$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. Questa è la funzione che vuoi mostrare è Lipschitz.
$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Cambio di variabile:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Questa è un'equazione di Bessel la cui soluzione è ben nota. Vedi l'Eq. (6) e (7) in:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ e $Y_0$sono le funzioni di Bessel rispettivamente del primo e del secondo tipo. La soluzione generale dell'ODE è:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ I coefficienti $c_1$ e $c_2$ sono determinati in base alle condizioni $y(0)=1$ e $y'(0)=0$ che porta alla soluzione unica: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$