Dimostralo $\dim V / U$ equivale $\dim V - \dim U$ senza nullità di rango
Da Algebra di Artin:
Sulla base di ciò, vediamo che la mappa da $\varphi(G) \longrightarrow G/K$ definito da $\varphi(g) \mapsto gK$ è un isomorfismo di gruppo dall'immagine (di $\varphi$) ai cosets del kernel, quindi $\varphi(G) \cong G/K$.
Se $V$ è uno spazio vettoriale e $K$ è un sottospazio di $V$, chiama $V/K = \{ v + K : v \in V\}$uno spazio quoziente. Sotto le operazioni intuitive$(v + K) + (u + K) = (v + u) + K$ e $\lambda(v + K) = (\lambda v) + K$, qualsiasi spazio quoziente è uno spazio vettoriale.
L'isomorfismo di gruppo sopra si estende naturalmente a un isomorfismo dello spazio vettoriale $T:V \longrightarrow V'$, dimostrando $\text{im}T \cong V/K$, dove $K = \ker T$.
Ora se lo dimostriamo $\dim V / K = \dim V - \dim K$, il teorema di nullità di rango cade come corollario.
Permettere $\pi$ essere la mappa canonica da $V$ per $V/K$, ie $\pi(v) = v + K$, che è surjective con kernel $K$. Il teorema di nullità di rango completa la dimostrazione che$\dim V / K = \dim V - \dim K$.
Ma come possiamo dimostrarlo, quando $K$ è un sottospazio di dimensione finita $V$, quello $\dim V / K = \dim V - \dim K$? SENZA usare il teorema di nullità del rango.
EDIT: per chiarire, il teorema di nullità di rango afferma che se $T:V \longrightarrow W$ e $V$ è finito dimensionale, quindi il rango (dimensione di $\text{im}T$) più la nullità (dimensione di $\ker T$) equivale $\dim V$.
Risposte
Che dire dell'utilizzo del seguente risultato:
Proposizione. Se$K$ è un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$ e $V/K$ è di dimensione finita, quindi $$ V \cong K \times (V/K) .$$
Prova. Permettere$v_{1} + K, \ldots, v_{n} + K$ essere una base per $V/K$. Quindi, per qualsiasi$v \in V$ esistono scalari $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ tale che $$ v + K = \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{n}(v_{n} + K).$$ Considera ora la mappa lineare $\varphi: V \rightarrow K \times (V/K) $ definito dalla mappatura $v \in V$ per
$$ \left( v - \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} v_{i} \hspace{0.2cm}, \hspace{0.2cm} v + K \right) .$$ Questa mappa lineare è un isomorfismo. $\square$
Modifica 1. Ora, come corollario, supponiamo$V$è di dimensione finita. Poi$K$ è finito-dimensionale e $V/K$ deve essere anche finito-dimensionale, perché per qualsiasi base $v_{1}, \ldots, v_{n}$ di $V$, la lista $v_{1} + K, \ldots, v_{n} + K$ genera $V/K$. Utilizzando il nostro risultato precedente:
$$ \dim V = \dim \left( K \times (V/K) \right) = \dim K + \dim V/K. $$
Modifica 2. Dimostriamolo$\varphi$è biettivo. Prima supponi$v \in V$ è tale che $\varphi(v) = ( 0_{V}, K )$. Notare che$0_{V}$ è l'identità additiva di $K$ e $K$ è l'identità additiva di $V/K$, così $(0_{V}, K)$ è l'identità additiva di $K \times (V/K)$. Secondo la definizione di$\varphi$, ne consegue che $$ v + K = K = 0 \cdot (v_{1} + K) + \ldots + 0 \cdot (v_{n} + K) ,$$ così $$ v - \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot v_{i} = 0_{V} $$ e $v = 0_{V}$. Quindi$\ker \varphi = \{ 0_{V} \}$ e $\varphi$ è iniettiva.
Per dimostrare la suriettività, considera un elemento arbitrario $(u, v + K)$ di $K \times (V/K)$. Da$V/K$ è di dimensione finita, possiamo scrivere $$ v + K = \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{n}(v_{n} + K).$$ Diamo ora un'occhiata al vettore $$u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}$$ in $V$. La classe di equivalenza di questo vettore è precisamente$$ \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{1}(v_{n} + K) = v + K, $$ così $$ \varphi \left( u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \right) = \left( u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} - \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \hspace{0.2cm}, \hspace{0.2cm} v + K \right) = (u, v + K). $$
Prendi una base di $K$ esso ha $m=dim K$elementi. È linearmente indendente in$V$, quindi può essere esteso a una base in $V$ aggiungendo $r=dim V-m$ elementi $ v_1,...v_r$ Poi $v_1+K,...,v_r+K$ sono linearmente indipendenti in $V/K$e allargalo. Quindi l'oscurità dello spazio dei fattori è$r$ come affermato.
Se $K = \left\{ \mathbf{0}_V \right\}$, dove $\mathbf{0}_V$denota il vettore zero di$V$, poi $\dim K = 0$, e anche $$ V/K = \big\{ \, \{ v \} \colon v \in V \, \big\}, $$ e così $$ \dim V/K = \dim V = \dim V - \dim K. $$
Quindi supponiamo che il subspazio $K$ ha anche vettori diversi da zero.
Supponiamo che $\dim K = m$, e lascia $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ essere una base (di fatto una base ordinata) per $K$.
Supponiamo che $\dim V = n$.
Se $K = V$, quindi ovviamente $$ V/K = \big\{ K \big\} $$ così che $$ \dim V/K = 0 = \dim V - \dim K. $$
Quindi supponiamo che $K$è un sottospazio appropriato di$V$. Allora ovviamente$n > m$e la base ordinata $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ del sottospazio $K$ può essere esteso a una base ordinata $\left( e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n \right)$ per l'intero spazio $V$, per alcuni vettori $e_{m+1}, \ldots, e_n \in V \setminus K$.
Ora mostriamo che il set (ordinato) $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ costituisce una base (cioè una base ordinata) per lo spazio quoziente $V/K$.
Permettere $v+K$ essere un elemento arbitrario di $V/K$, dove $v \in V$.
Come $v \in V$ e come $\left( e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n \right)$ è una base ordinata per $V$, così questo $v$ può essere espresso in modo univoco come una combinazione lineare dei vettori $e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n$; cioè, esiste un unico$n$-tupla $\left( \alpha_1, \ldots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_n \right)$ di scalari tale che $$ v = \alpha_1 e_1 + \cdots + \alpha_m e_m + \alpha_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \alpha_n e_n. $$ E come $e_1, \ldots, e_m \in K$ e come $K$ è un (sottospazio vettoriale) di $V$, così otteniamo $$ \begin{align} v+K &= \left( \alpha_1 e_1 + \cdots + \alpha_m e_m + \alpha_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \alpha_n e_n \right) + K \\ &= \left( \alpha_1 e_1 + K \right) + \cdots \left( \alpha_m e_m + K \right) + \left( \alpha_{m+1} e_{m+1} + K \right) + \cdots + \left( \alpha_n e_n + K \right) \\ &= \alpha_1 \left( e_1 + K \right) + \cdots \alpha_m \left( e_m + K \right) + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \alpha_1 K + \cdots + \alpha_m K + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \underbrace{K + \cdots + K}_{\mbox{$m$ terms}} + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= K + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right). \end{align} $$ Nota che $K$è il cosiddetto vettore zero dello spazio quoziente (vettore)$V/K$. Così l'insieme ordinato$\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ campate $V/K$.
Ora lo dimostriamo $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$è linearmente indipendente. Per questo supponiamo che, per alcuni scalari$\beta_{m+1}, \ldots, \beta_n$, noi abbiamo $$ \beta_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots \beta_n \left( e_n + K \right) = K. $$ Notalo ancora una volta $K$è il cosiddetto vettore zero dello spazio quoziente (vettore)$V/K$. L'equazione precedente può essere riscritta come$$ \left( \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n \right) + K = K, $$ il che implica quello $$ \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n \in K, $$ e come $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ è una base ordinata per $K$, quindi esiste un unico $m$-tupla $\beta_1, \ldots, \beta_m$ di scalari tale che $$ \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n = \beta_1 e_1 + \cdots + \beta_m e_m, $$ il che implica quello $$ \beta_1 e_1 + \cdots + \beta_m e_m - \beta_{m+1} e_{m+1} - \cdots - \beta_n e_n = \mathbf{0}_V, $$ dove $\mathbf{0}_V$denota il vettore zero in$V$e poiché i vettori $e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n$ essendo i vettori di base sono linearmente indipendenti, quindi possiamo concludere che $$ \beta_1 = \cdots = \beta_m = \beta_{m+1} = \cdots = \beta_n = 0, $$ e così in particolare otteniamo $$ \beta_{m+1} = \cdots = \beta_n = 0, $$ mostrando così l'indipendenza lineare di $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$.
Quindi $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ è una base (ordinata) per $V/K$, il che lo dimostra $$ \dim V/K = n - m = \dim V - \dim K, $$ come richiesto.