Dimostralo $f(x) = x|x|$ è continuo e differenziabili - verifica della soluzione?

Aug 19 2020

Un altro esercizio che ho fatto senza soluzioni.

Dubito fortemente che sia corretto, quindi correggimi :)

Permettere $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ essere dato da $f(x):=x|x| .$ Dimostralo $f$ è continuo e differenziabili $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Così $f(x)$ è continuo

Differenziabili: spettacolo $f^{\prime}(x)$ esiste affatto $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Risposte

2 JoséCarlosSantos Aug 19 2020 at 04:00

La parte di continuità è corretta, ma non la parte di derivabilità. Nota che$f(x)=x^2$ è $x\geqslant0$. Questo dimostra che$f'(x)=2x$ è $x>0$ e che il diritto derivato di $f$ a $0$ è $0$. Con lo stesso argomento,$f'(x)=-2x$ è $x<0$ e la derivata sinistra di $f$ a $0$ è $0$. Così,$f$ è differenziato in $\Bbb R\setminus\{0\}$ e, poiché le derivate sinistra e destra a $0$ sono entrambi uguali a $0$, $f'(0)=0$. In particolare,$f$ è differenziabili in $0$ pure.

2 YvesDaoust Aug 19 2020 at 04:00

In alternativa,

  • per $x<0$, $f(x)=-x^2$, che è differenziabili;

  • per $x>0$, $f(x)=x^2$, che è differenziabili;

  • a $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ conferma la differenziazione della funzione.

Anche una funzione differenziabili è continua.

1 CSquared Aug 19 2020 at 04:12

Per $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

Per i limiti della mano sinistra e destra di $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ come $x\to 0$, vanno entrambi a $0$, così $f(x)$ è differenziabili in $0$.

Nota: per $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$