Dimostralo $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ ha una soluzione unica su $\mathbb{R}$
Dimostralo $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ ha una soluzione unica su $\mathbb{R}$.
Questo è uno spin off di uno dei problemi in Berkeley Problems in Mathematics.
La mia soluzione (tentativo) è molto più breve di quella presentata dagli autori (mostrano che esiste una soluzione unica in qualche quartiere di $(0,54)$ utilizzando una versione locale del teorema di Picard e quindi utilizzare IFT per trovare una soluzione esplicita su questo vicinato e dimostrare che questa soluzione è valida su $\mathbb{R}$) quindi volevo controllare di non essermi perso qualcosa.
Ecco la mia soluzione:
Permettere $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Fix$h >0$. Dalle proprietà di base delle funzioni continue$f$ è continuo $[-h,h] \times \mathbb{R}$ e inoltre Lipschitz in $y$su questa striscia. Questo segue da,
$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ e l'MVT.
Il teorema di Picard si applica e vediamo che l'IVP ha una soluzione unica $[-h,h]$.
Ma $h$ era arbitrario quindi l'IVP ha una soluzione su tutti i file $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
È corretto? In generale, non sono sicuro di come provare l'unicità / esistenza di soluzioni globali ... continuazione analitica o Picard globale ?!
Nota che la versione del teorema di Picard che sto usando è
L'IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, ha una soluzione unica su $\mathbb{R}$ fornito, $\forall h:$
$f$ è continuo $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$
$f$ è Lipschitz in y su $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.
Risposte
La tua idea è corretta. Con un lato destro sub-lineare si ottiene una soluzione globale. L'idea di prova viene esplorata ad esempio in
- Esistenza di una soluzione per l'ODE del primo ordine. Cosa c'è da dimostrare?
- Disuguaglianza nella prova della soluzione unica di un'ODE
Il problema con la tua fonte potrebbe essere che non si sono impegnati per provare questa versione più globale del teorema dopo quella localizzata standard. Quindi devono assemblare la soluzione da molte soluzioni locali.
Nota che con la formulazione della tua condizione, ottieni solo una soluzione $[a-h,a+h]$, il che non dovrebbe sorprendere in quanto questo è il dominio esplorato dell'ODE.