Dimostralo se $a,b \in \mathbb{R}^n$, poi $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Dimostralo se $a,b \in \mathbb{R}^n$, poi $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

Abbiamo quello $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

e quello $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

tuttavia non vedo come posso continuare da qui. Se prendo$||a||-||b||$ Lo capisco $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

che non aiuta affatto. Che cosa devo fare qui?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Quindi $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

Allo stesso modo abbiamo $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Quindi $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

Questo è $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Trucco subdolo: scrivi $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$e usa direttamente la disuguaglianza triangolare.

Answer 3

Dato che @Siong Thye Goh ha già fatto la soluzione, menzionerò una cosa.

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$\blacksquare~$ Affermazione: per qualsiasi sottospazio vettoriale $(X, \| \cdot \|)$ di $~\mathbb{K}^{n}$, abbiamo soddisfatto la seguente disuguaglianza. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Prova: abbiamo da$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Poi $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Quindi, abbiamo quello $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

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Usare la disuguaglianza per any $x, x_0 \in X~$ per $(X, \| \cdot \|)$ è uno spazio lineare normato e $X$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^n$, abbiamo una richiesta molto importante.

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$\bullet~$ Affermazione: la mappa$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$è continuo o, in altre parole, la norma $\| \cdot \|$è continuo.

$\bullet~$ Prova: dalla definizione di continuità che abbiamo, per ogni dato$\epsilon > 0$, lì esiste $\delta > 0$ tale che
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} dal problema precedente abbiamo la disuguaglianza \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Scegliamo il nostro $\epsilon = \delta$. Quindi abbiamo\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Il che mostra che la mappa $\| \cdot \|$è continuo a$x_{0}$. Come$x_{0}$è arbitraria , quindi la funzione$\| \cdot \|$è continuo su tutto lo spazio $X$.

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Ciò rende la prova importante che qualsiasi norma sia continua su un sottospazio vettoriale di dimensione finita di$\mathbb{K}^n$.

Non correlato alla domanda, nessuna intenzione di spam :)