Dimostralo se le linee $FP$ e $GQ$ intersecare a $M$, poi $\angle MAC = 90^\circ$.

Aug 21 2020

Nel quadrilatero ciclico convesso $ABCD$, sappiamo che le linee $AC$ e $BD$ intersecare a $E$, Linee $AB$ e $CD$ intersecare a $F$e linee $BC$ e $DA$ intersecare a $G$. Supponiamo che il circumcircle di$\triangle ABE$ interseca la linea $CB$ a $B$ e $P$, e il circumcircle di $\triangle ADE$ interseca la linea $CD$ a $D$ e $Q$, dove $C,B,P,G$ e $C,Q,D,F$sono allineati in quest'ordine. Dimostralo se le linee$FP$ e $GQ$ intersecare a $M$, poi $\angle MAC = 90^\circ$.

I miei progressi :

Reclamo :$PBQD$ è ciclico

Prova : nota che$CQ\cdot CD=CE\cdot CA=CB\cdot CP \implies PQDB$ è ciclico.

Reclamo :$APQC$ è ciclico

Prova : inseguimento angolare! Nota che perché ciò sia vero, è sufficiente dimostrarlo$\angle AEB=\angle AQC$ o è sufficiente per dimostrarlo $\angle AEB=\angle AQC $ o è sufficiente per dimostrarlo $\angle AED=\angle AQD$ il che è vero da allora $AEDQ$ è ciclico.

Reclamo :$E\in PQ$

Prova : quindi abbastanza per dimostrarlo$\angle AEQ+\angle AEP=180 $

o abbastanza per dimostrarlo $180- \angle ADC + \angle AEP=180 $

o abbastanza per dimostrarlo $\angle ADC= \angle ABC$ , il che è vero da allora $ABCD$ è ciclico.

dopo di che sono bloccato.

L'ho osservato $FG , AM, PQ$d'accordo ma non è stato in grado di provare. Qualcuno può dare suggerimenti?

Grazie in anticipo.

Risposte

3 Anand Aug 22 2020 at 20:01

Continuando da dove hai finito ...

Quindi, abbiamo $PBDQ$ ciclico e $E\in PQ$. Ora concentrati sul quadrilatero$PBDQ$. Dalla definizione$A$ è il punto Miquel del quadrilatero $PBDQ$. Adesso molla$X:=PD\cap BQ$ e quindi, dalle proprietà del punto di Miquel, lo otteniamo $A$ è la proiezione di $X$ sopra $CE$. Quindi, è sufficiente per dimostrarlo$M,A,X$sono allineati ma questo è banale. Basta applicare il Teorema di Pappo$\{PGB,QFD\}$ completare la dimostrazione. $\blacksquare$