Dimostrare che la linea, contenente i segmenti con lunghezze delle distanze massime e minime dall'origine a un cerchio, contiene il centro del cerchio
(https://www.desmos.com/calculator/nwdvygfw1r per riferimento)
Ho problemi a provare quello che mi dice la mia intuizione.
Stavo cercando di trovare le distanze massime e minime dall'origine del piano 2D a una circonferenza, e ho pensato che forse gli estremi della distanza formavano segmenti di linea che, quando messi insieme, erano contenuti nella linea formata con l'origine e la circonferenza. centro.
La mia strategia quindi era trovare l'equazione della retta passante per l'origine e il centro della circonferenza, trovare i punti in cui tagliava la circonferenza e quindi calcolare le distanze da quei punti all'origine, prendendo quella più grande come distanza massima e viceversa.
Rimasi perplesso quando mi chiesi perché esattamente i miei pensieri mi portassero a credere ciecamente che quelle due distanze dovessero essere contenute in quella linea. Quando ho provato a dimostrarlo, ho pensato di forzarlo, calcolando la formula della distanza ( d (O, P), dove P è un punto su C), differenziandolo e quindi impostandolo uguale a zero, ma è finito con un pasticcio caldo.
Il mio tentativo per una circonferenza con l'origine al suo interno si è rivelato riuscito, ma non sono riuscito ad estendere la logica della disuguaglianza del triangolo al caso in cui l'origine è esterna alla circonferenza, tanto meno quando si trova sulla circonferenza.
Qualsiasi aiuto è apprezzato! Questa è la prima volta che scrivo qui e spero di poter ottenere da qualche parte questo problema.
(in Desmos link: come posso provare che se OA e OB sono le distanze min e max (punti A, B sulla circonferenza), rispettivamente da O alla circonferenza, allora la linea AB contiene C?)
Risposte
Permettere $A$ e $B$ essere i punti finali del diametro che passa per il punto $O$ tale che $OA<OB$.
Se $P$ è un punto qualsiasi della circonferenza tale che $P\ne A$ e $P\ne B$, consideriamo il triangolo $OCP$.
Applicando la proprietà dei triangoli che afferma che ogni lato è più lungo della differenza degli altri due, lo otteniamo
$OP>CP-OC$
ma
$CP=CA$
perché sono raggi della stessa circonferenza, quindi lo otteniamo
$OP>CA-OC=OA$
Significa che $A$ è il punto della circonferenza di minima distanza da $O$.
Ora applichiamo al triangolo $OCP$ la proprietà che afferma che ogni lato è più corto della somma degli altri due,
$OP<CP+OC$
ma
$CP=CB$
perché sono raggi della stessa circonferenza, quindi lo otteniamo
$OP<CB+OC=OB$
Significa che $B$ è il punto della circonferenza di massima distanza da $O$.
Quindi i punti di distanza minima e massima sono $A$ e $B$ quali sono i punti finali del diametro che passa per il punto $O$.
Dal momento che il segmento che collega i punti $A$ e $B$ di distanza minima e massima è un diametro, contiene il centro $C$ della circonferenza.
Possiamo prendere la proprietà di un raggio di cerchio $a$che per una linea variabile il prodotto delle lunghezze dei segmenti è una costante. Utilizzando l'origine delle coordinate polari$C$ per impostare l'equazione di un cerchio eccentrico.
Permettere
$$ OP=r, OG =T, CP =CQ=a, OQ= r -2 a \sin \psi$$
Centro $C$ può essere ovunque, non necessariamente sull'asse x.
$$ OP\cdot OQ= r (r-2a \sin \psi )= T^2 $$
Equazione quadratica in $r\;$ha due radici Prendiamo il segno positivo prima del radicale per la lunghezza del segmento. Al punto tangente
$$ \psi=0,\;r_{tgt}= T= OG $$
In un punto lontano $F$ è la distanza massima
$$ \psi= +\pi/2,\; r^2-2 ar-T^2=0 \rightarrow r_{max}= a+ \sqrt{a^2+T^2}=+OC+a$$
Nel punto vicino N è la distanza minima
$$ \psi= -\pi/2, \;r^2+2 ar-T^2=0 \rightarrow r_{min}= - a+ \sqrt{a^2+T^2}=+OC-a. $$
Poiché la distanza media $ OC = \sqrt{T^2+a^2}$ è costante, è dimostrato che si verificano estremi quando $NF$ è il diametro del cerchio.
Costruisci un cerchio intorno $O$ con raggio $OA$ e un cerchio intorno $O$ con raggio $OB.$
Il diametro di ogni cerchio si trova sulla linea estesa $AB.$ I due cerchi più piccoli passano $A$ e passano i due cerchi più grandi $B.$ Mostra che il cerchio più piccolo è completamente contenuto all'interno del cerchio intorno $C$ (ad eccezione di un punto di tangenza in $A$) e il cerchio intorno $C$ è completamente contenuto nel cerchio più grande (eccetto per un punto di tangenza in $B$). Da qui tutti i punti del cerchio intorno$C$ (diverso da $A$) sono più lontani da $O$ di $A$ è e tutti i punti diversi da $B$ sono più vicini di $B$ è.