Dimostrare che la topologia del prodotto in formato $\Bbb C^n$ è uguale al solito

Question

Quindi è bene sapere che la funzione $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ definito dalla condizione

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

per ogni $x,y\in\Bbb C^n$è un prodotto interiore. Quindi chiedo di dimostrare che la topologia del prodotto è attiva$\Bbb C^n$ indotto dal prodotto interno $\tau_1$ è uguale alla topologia $\tau _n$come sopra definito. Faccio notare che ho bisogno di questo risultato per mostrare che le funzioni lineari tra due spazi vettoriali topologici sono continue e quindi per mostrare che tutte le topologie in uno spazio vettoriale topologico a dimensione finita sono equivalenti e quindi chiedo cortesemente di non dare quanto appena detto come risposta. Quindi qualcuno potrebbe aiutarmi, per favore?

Answer 1

La topologia del prodotto è generata dalla norma

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ dove $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Denotando

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ noi abbiamo

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ che permette di concludere al risultato desiderato.