Dimostrare la disuguaglianza di Hölder condizionale utilizzando la distribuzione condizionale regolare
Sto cercando di dimostrare la disuguaglianza condizionale di Hölder usando distribuzioni condizionali regolari. La disuguaglianza che sto cercando di dimostrare è:
Per $p,q \in (1,\infty)$ con $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, e per $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ e $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, e per $\mathcal F \subset \mathcal A$ un sub-$\sigma$-algebra, quasi sicuramente ce l'abbiamo $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
Ho trovato molte prove di questo fatto, ma sto cercando specificamente di dimostrarlo usando un teorema di distribuzioni condizionali regolari:
Permettere $X$ essere una variabile casuale su $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ con valori in uno spazio Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ è un sub-$\sigma$-algebra e $\kappa_{X,\mathcal F}$ una distribuzione condizionale regolare di $X$ dato $\mathcal F$. Inoltre, lascia$f : E \to \mathbb R$ essere misurabile e $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Poi,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$
Mi dà l'applicazione della disuguaglianza, della monotonia e della linearità dell'aspettativa condizionata di Young $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$ma ho difficoltà ad arrivare da qui alla disuguaglianza desiderata. In alternativa, ci fornisce la disuguaglianza di Hölder standard$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, quindi implica anche il risultato di cui sopra $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Ma entrambi questi approcci mi hanno portato ad argomenti circolari o a utilizzare misure che non penso esistano formalmente (come $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ per un fisso $\omega\in\Omega$). Qualche suggerimento o altri posti dove cercare?
Risposte
Permettere $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ essere le proiezioni $\pi_1(x,y) = x$ e $\pi_2(x,y) = y$. Dopo aver mostrato$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ dal risultato citato sulle distribuzioni condizionate regolari, che è finito per ae $\omega\in\Omega$. Così$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$e allo stesso modo $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, per ae $\omega\in\Omega$. Quindi, \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {dal risultato citato su distribuzioni condizionali regolari;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {dal disuguaglianza standard di Hölder applicata a} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ sinistra [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ destra] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ sinistra [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {dal risultato citato e utilizzando le proprietà di misura dell'immagine di$\kappa_{X,\mathcal F}$ e $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}
Che ne dici di iniziare con $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
Se $Z$ è $\mathcal F$ misurabile, quindi $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
Per evitare problemi di zero e infinito, applicalo prima a $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, e allo stesso modo per $Y$, e poi lascia $\epsilon \to 0+$, e $N \to \infty$.
Ovviamente, quando si fa la disuguaglianza di Young all'inizio, l'introduzione della distribuzione condizionale regolare è un passo in più che non serve a nulla.
Di nuovo, non rispondo alla tua domanda. Ma questo è troppo grande per i commenti.
Quando proviamo la disuguaglianza del possessore standard, usiamo effettivamente la disuguaglianza di Young in questa forma: per qualsiasi $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ da cui ottieni $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Quindi usi: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Questo è solo mettere le condizioni per l'uguaglianza nella disuguaglianza di Young.) Nel dimostrare la forma condizionale della disuguaglianza di Holder, verrà assunto $\lambda$ un positivo $\mathcal F$-funzione misurabile.
Ma ciò che questo dice è che se vuoi usare distribuzioni regolari condizionali, dovresti davvero usare la forma della disuguaglianza di Young che ho scritto sopra.