Dimostrare la monotonicità di una funzione implicita

Question

Stavo studiando la proprietà della funzione Beta e ho riscontrato la seguente uguaglianza:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

dove $\text{B}$ sta per la funzione Beta.

Lo posso dimostrare per tutti $\alpha>0$, esiste un unico $k \in (0,\infty)$st l'uguaglianza di cui sopra vale. Ciò che mi interessa è che quando traccio il grafico di$k$ in termini di $\alpha$ in Wolfram, si scopre che $k$ è in realtà una funzione strettamente decrescente rispetto a $\alpha$.

Non sono riuscito a provare l'affermazione di cui sopra, ma ho alcune intuizioni. L'integrazione per parti produce che l'uguaglianza di cui sopra è equivalente a:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Cosi quando $\alpha$ è grande, il termine $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ diventa dominato a $\lambda=1/2$. Perciò,$2k/4$ deve stare vicino a $1$anche. quando$\alpha$ è piccolo, $k$ deve essere notevolmente più grande di $2$ per compensare la parte dove $\lambda$ stare lontano da $1/2$.

Eventuali suggerimenti / suggerimenti sono per lo più apprezzati.

Answer 1

Permettere $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Dal teorema della funzione implicita applicato a$R\left(a,k\right)=0$ noi abbiamo

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

perché $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ e $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Fammi sapere se è chiaro.