Districante esponenziale di operatori numerici e operatori di creazione e annichilazione
C'è un modo per districare l'esponenziale della somma del numero, dell'annichilimento e dell'operatore di creazione? Per esempio,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
dove $G$, $A$, e $B$ sono funzioni di tutti e tre i parametri $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$.
Risposte
Non una risposta, ma un commento esteso sul tuo approccio fondamentalmente corretto, poiché il formato del commento non consente commenti così estesi. Il gruppo coinvolto è il gruppo dell'oscillatore , e la ripetizione 3d che hai trovato è fedele, quindi qualsiasi relazione di gruppo vale anche per il gruppo astratto in generale, quindi, tutte le rappresentazioni ! Chiamerò il tuo elemento centrale C della tua risposta Z , e può filtrare da tutte le espressioni, pendolarismo con tutto.
L'affermazione generica supportata dal teorema di Lie è che il prodotto di tutti gli elementi del gruppo si avvicinerà a un esponenziale di una combinazione lineare di tutti i generatori nell'algebra di Lie , quindi, quindi,$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$Tuttavia, poiché Z commuta con tutto, possiamo invertire il primo fattore di lhs a destra e incorporarlo in un nuovo parametro$\phi'-\theta=\phi$, così che $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ dove i parametri $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ sono garantite per essere funzioni di $G,A,B$.
Ora, per la nilpotenza dei primi tre generatori e la diagonale del quarto, il lato sinistro valuta banalmente a $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ con determinante $e^{A/2}$.
Questo deve essere uguale $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Il suo determinante è $e^{\alpha/2}$ dall'identità $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
Ora, al secondo ordine nei suoi parametri, si espande in $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
Confrontando con i suddetti dettami sul lato sinistro, al secondo ordine, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ ma poi ti rendi conto che la voce in alto a destra non corrisponde e richiede una non scomparsa $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$per riprendere il gioco. Uno doveva andare al secondo ordine per vederlo, poiché è necessaria almeno una commutazione$[a,a^\dagger]$ per produrre l'elemento centrale.
Allora, $\phi$è effettivamente essenziale nella tua espressione modificata (*): questo non è un grado di libertà che potrebbe essere omesso. Mi scuso (con Pascal) per non aver avuto il tempo di abbreviare il commento.
Penso di aver trovato un metodo utilizzando le risposte a queste due domande:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
Come funzionano il districamento e il riordino degli operatori esponenziali?
Possiamo mappare le seguenti matrici agli operatori ladder:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
Le matrici A, B, C, D soddisfano le relazioni di commutazione degli operatori ladder. Quindi valutare il lato sinistro e il lato destro utilizzando queste matrici e i coefficienti di corrispondenza. Sembra funzionare, ma vorrei qualche conferma che questo è l'approccio giusto in quanto non ho esperienza con le algebre di menzogna.