Disuguaglianza differenziale rispetto al confronto del volume
Permettere $(M,g)$ essere un completo $n$-dimensional Riemannian varietà e let $p \in M$. Prendere in considerazione$(t,\Theta)$ , le coordinate sferiche geodetiche intorno $p$, dove $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ e $\Theta$ è un vettore unitario in $T_pM$. Permettere$A_p(t,\Theta)$essere la densità della misura del volume in queste coordinate, cioè \ begin {equation *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {equation *} Un noto teorema degli stati di Gromov che se$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, quindi la mappa \ begin {equation} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {equation} non è -aumentando$t$. Come di solito,$sn_{\kappa}$è dato da \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Ora vorrei dimostrare un risultato simile quando la curvatura in sezione di$M$è delimitato dall'alto. Cioè, se$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, poi
\ begin {equation *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ destra) + \ kappa \ sinistra (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end {equation *} I ' Sto cercando di imitare l'argomento fornito da Gromov, lasciando$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ e calcola quello $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, dove $\text{II}(t)$ è la seconda forma fondamentale di $\partial B(p,t)$. Ma poiché non stiamo dimostrando una dichiarazione sulla monotonia, non so come posso sbarazzarmi del potere$(n-2)$. Differenziare direttamente tale espressione sembra intimidatorio e noioso, e credo che ci sia una scorciatoia al problema poiché è molto simile alla stima della norma dei campi Jacobi. Qualsiasi intuizione del problema sarà apprezzata.
$\textbf{Update}$: L'altro giorno pensavo di avere una soluzione ma dopo averla ricontrollata non credo che funzioni. Ecco cosa ho fatto: Let$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ si può usare il trucco del calcolo $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $per calcolare che \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} e che \ begin {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Nota che$\varphi(t)$ è non negativo quando $t$è piccolo, quindi per mostrare che la disuguaglianza originale è vera, è sufficiente mostrare che \ begin {equation *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *}
Ricordiamo la seconda stima di confronto (cfr Peterson pagina 145 Cor 2.4) afferma che se la curvatura in sezione è delimitata sopra da $\kappa$, quindi ogni componente della seconda forma fondamentale può essere limitato dal basso, cioè \ begin {equation *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {equation *} che ci dà \ begin {equation} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ etichetta{$\star \star$} \ end {equation} e \ begin {equation *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {equation *} Pensavo di ricollegare questa espressione$\star$risolverà il problema, poiché \ begin {equation *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {equation *} Ma ho fatto un errore fatale dichiarandolo$f \geqslant g$ implica $f' \geqslant g'$! Mi sembra di essere tornato al punto di partenza, anche se ho un'espressione relativamente carina. Qualsiasi intuizione o aiuto sarebbe apprezzato.
Risposte
Quindi il mio professore mi ha dato un'idea di come risolvere questo problema. Dopo aver ottenuto \ begin {equation *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *} Possiamo usare l'equazione di Riccati per riscrivere \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} E dopo l'espansione$\text{Part B}$, $\star$diventa \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} dove$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ sono gli autovalori di $\text{II}(t)$. L'ultima disuguaglianza segue dal confronto dell'Assia, indicato nel Corollario 2.4 del libro di Petersen.