Domanda di teoria dei numeri - divisibilità
Sia s il più piccolo numero intero positivo con la proprietà che la sua somma di cifre e la somma di cifre di s + 1 sono entrambe divisibili per 19. Quante cifre ha s?
Ho provato a trovare il numero più piccolo e ho ottenuto 14 cifre (il numero 18999999999999), ma mi sbagliavo. Come mai c'è un numero inferiore?
Risposte
La somma delle cifre di $s + 1$ per il tuo numero $18999999999999$ è $10$, non divisibile per $19$.
Se ci sono $k$ $9$è alla fine di $s$, quindi la somma delle cifre di $s$ e $s + 1$ differiscono per $9k - 1$.
Quindi dovrebbe esserci almeno $17$ $9$è alla fine di $s$ (come $17$ è l'inverso di $9$ modulo $19$). Affinché la somma sia divisibile per$19$, dovremmo aggiungerne un altro $18$. Ma non è possibile farlo in due cifre, poiché ne richiederebbero altre due$9$'S.
Quindi dobbiamo avere almeno $20$ cifre e il più piccolo tale $s$ è $19899999999999999999$.