Dominio fondamentale di una piastrellatura uniforme del piano iperbolico
Considera la configurazione dei vertici $(3.4)^3$che dà la piastrellatura ottagonale alternata
e può essere trovato anche qui :
Non ho idea di come il dominio fondamentale , risp. la cella primitiva di questa piastrellatura assomiglia, come costruirla e come rappresentarla (da cui la piastrellatura può essere creata da alcune traduzioni nel piano iperbolico). Qualcuno può essere d'aiuto?
Risposte
La tabella di wikipedia ha una colonna "Triangoli fondamentali". Quei piccoli triangoli sono i domini fondamentali (celle di base) utilizzati per costruire la piastrellatura mediante riflessioni attraverso i bordi del triangolo fondamentale. Le composizioni di riflessioni attraverso i bordi danno quindi traslazioni e rotazioni.
Nota che anche se i triangoli hanno un aspetto diverso a causa della metrica iperbolica, in realtà sono tutte copie congruenti.
Se sei interessato al gruppo di simmetria sottostante di tali tassellature, controlla il termine gruppo di riflessione o gruppo di Coxeter. I parametri (4.3.3), (4.4.3) ecc. Specificano le relazioni del gruppo di riflessione generato dalle tre riflessioni attraverso i bordi del triangolo fondamentale.