Dov'è l'errore in questa "prova" che 3 = 0? [duplicare]
Ho visto questo video (link in basso), con una presunta "prova" di questo$3=0$. Funziona come segue:
Permettere $x$ essere una soluzione di $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Da $x\neq0$, possiamo dividere entrambi i lati per $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
A partire dal $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Sostituto $x+1=-x^2$ in $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Sostituto $x=1$ in $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
La spiegazione data nel video è
Sostituzione $x+1=-x^2$ in $(2)$ crea la soluzione estranea $x=1$ che non è una soluzione all'equazione originale $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Equazioni$(1)$ e $(2)$ avere soluzioni $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, ma dopo la sostituzione, equazione $(3)$ ha queste due soluzioni e $1$.
Fondamentalmente, sta dicendo che il problema sta sostituendo $x+1=-x^2$, ma non sono sicuro che questo sia effettivamente il problema. Come può una sostituzione causare un problema se tutto prima della sostituzione è corretto?
Dopo aver letto i commenti, mi sono reso conto che molti di loro dicono che il vero problema è $(4)$, perché $1=x^3$ potrebbe anche significare questo $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Non considerare queste soluzioni è il problema con la "prova". È inoltre necessario verificare queste soluzioni prima di trarre conclusioni e "scegliere" quella corretta.
Quindi, la mia domanda è, qual è il problema con la "prova" di cui sopra $3=0$?
Video: "Dimostrare" 3 = 0. Riesci a individuare l'errore? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Risposte
Il problema è $x^3=1$ non implica questo $x=1$. L'equazione$x^3-1=0$ ha tre possibili radici e la radice $x=1$ è una radice generata in aggiunta.
La sostituzione di un membro di un'equazione in se stessa può introdurre soluzioni aliene.
Per esempio $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
Puoi farlo, a condizione di mantenere anche l'equazione iniziale.
Le operazioni sicure sono:
aggiunta di un termine a entrambi i membri;
moltiplicando entrambi i membri per un fattore diverso da zero;
applicare una trasformazione invertibile a entrambi i membri.
Qualsiasi altra cosa (ad esempio la quadratura di entrambi i membri) deve essere eseguita con cura.
La sostituzione è in grado di causare una radice estranea perché è un passaggio irreversibile. Cioè, è chiaro che se$x^2 + x + 1 = 0$, Poi abbiamo $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, e per sostituzione, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Tuttavia, non è vero il contrario: se $-x^2 + 1/x = 0$, quindi non lo sostiene necessariamente $-x^2 = x+1$, da cui seguirebbe quello $x^2 + x + 1 = 0$.
In effetti, vediamo che è così che la soluzione $x = 1$ si adatta: soddisfa $-x^2 + 1/x = 0$, ma no $-x^2 = x+1$.
Un'altra prospettiva: la sostituzione può essere riassunta con la seguente moltiplicazione: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Moltiplicando $x^2 + x + 1$ di un altro fattore ha dato al polinomio un'altra radice.
Permettere $x\ne0$. Poi
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$è vero. Ma
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$non è* ! La conseguenza logica è solo da sinistra a destra.
Come mostrato nella trama, le curve di $-x^2$ e $-\dfrac1x$ si intersecano, ma non con $x+1$. Identificando i due precedenti RHS, perdi informazioni e introduci non soluzioni.
* Se ci pensi, sarebbe come dire
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ qualunque cosa $c$.