Dubbi su una domanda di probabilità: trovare la probabilità che un uomo muoia l'anno prossimo

Aug 19 2020

Dichiarazione del problema : ci sono$n$ uomini $A_1,A_2,...,A_n$ ciascuno invecchiato $x$ anno e la probabilità che ciascuno di loro muoia l'anno prossimo è $p$. Qual è la probabilità che$A_1$ morirà il prossimo anno e sarà il primo a morire?

Ho provato a risolverlo in questo modo:
Let$P(A_i)=p=$ probabilità di $A_i$ morire l'anno prossimo; $P(\bar A_i)=$Probabilità di $A_i$Non morire l'anno prossimo
Let$E=$ evento che $A_1$ muore l'anno prossimo ed è il primo a morire

$P(E)=P(A_1\cap \bar A_2\cap \bar A_3\cap...\cap \bar A_n)=P(A_1)(1-P(A_2))...(1-P(A_n)=p(1-p)^{n-1} \tag{1}$

In alternativa, consideriamo $F=$ evento che almeno uno dei $n$ gli uomini muoiono.
$P(F)=1-$ Probabilità che nessuno muoia =$1-(1-p)^n$ e quindi, probabilità che $A_1$ è il primo a morire =$\frac{1-(1-p)^n}{n}\tag{2}$ (perché ciascuno degli uomini ha la stessa probabilità di morire)

Mi chiedo perché entrambe le risposte in $(1)$ e $(2)$sono diversi. Per favore aiutami a capire. Grazie.

Risposte

2 Hefferson Aug 19 2020 at 15:22

$(1)$ Non tiene conto del fatto che più persone possono morire nello stesso anno e $A_1$essere ancora il primo a morirne. Ad esempio, se lo sappiamo$A_1$ e $A_2$ morire l'anno prossimo, c'è un $1/2$ opportunità $A_1$ morì prima, e a $1/2$ opportunità $A_2$è morto per primo. Se$A_1$ e $A_2$ morire l'anno prossimo, e $A_1$ morto per primo, quello non sarebbe stato un membro dell'evento $E$. Perciò$P(E)$ non è la risposta corretta al problema. $(2)$ è un ragionamento corretto.