Due disuguaglianze con i parametri $a,b,c>0$ tale che $ca+ab+bc+abc\leq 4$

Question

Permettere $a,b,c>0$ essere tale $bc+ca+ab+abc\leq 4$. Dimostra le seguenti disuguaglianze:

(un) $8(a^2+b^2+c^2)\geq 3(b+c)(c+a)(a+b)$, e

(b) $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{a^2b}+\dfrac{2}{b^2c}+\dfrac{2}{c^2a}\geq 9$.

Dimostra anche che l'unico caso di uguaglianza per entrambe le disuguaglianze è dato da $a=b=c=1$.

Di seguito sono riportati alcuni risultati probabilmente utili o pertinenti.

• https://artofproblemsolving.com/community/c6h1241430p6342224
• https://artofproblemsolving.com/community/c6h284290p1535893
• https://artofproblemsolving.com/community/c6h608971p3619202
• https://artofproblemsolving.com/community/c6h1804479p11995588
• Se $ab+bc+ca+abc=4$, poi $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq 3\leq a+b+c$

Le tecniche utilizzate per risolvere le disuguaglianze in questi collegamenti possono rivelarsi utili per dimostrare le nostre disuguaglianze.

Tentativo. Nel caso più semplice,$a=b=c=:t$, noi abbiamo $t^3+3t^2-4\leq 0$, da dove $0<t\leq 1$. Pertanto, le disuguaglianze (a) e (b) diventano$$24t^2\geq 24t^3$$ e $$\frac{3}{t^2}+\frac{6}{t^3}\geq 9\,,$$che sono ovviamente veri. Come dimostrare queste disuguaglianze in generale?

Answer 1

La prima disuguaglianza.

Permettere $a=kx$, $b=ky$ e $c=kz$ tale che $k>0$ e $xy+xz+yz+xyz=4.$

Quindi, la condizione dà $$k^2(xy+xz+yz)+k^3xyz\leq xy+xz+yz+xyz$$ o $$(k-1)((k+1)(xy+xz+yz)+(k^2+k+1)xyz)\leq0$$ o $$k\leq1.$$ Quindi, dobbiamo dimostrarlo $$8(x^2+y^2+z^2)\geq3k(x+y)(x+z)(y+z)$$ e da allora $0<k\leq1$, è sufficiente per dimostrarlo $$8(x^2+y^2+z^2)\geq3(x+y)(x+z)(y+z).$$ Ora, riscrivi la nuova condizione nella seguente forma: $$\sum_{cyc}\frac{1}{x+2}=4$$ e lascia $x=\frac{2p}{q+r}$ e $y=\frac{2q}{p+r},$ dove $p$, $q$ e $r$ sono positivi.

Quindi, $z=\frac{2r}{p+q}$ e dopo questa sostituzione otteniamo qualcosa di ovvio.

Ma è meglio dimostrarlo prima $$x+y+z\geq xy+xz+yz,$$ per cui dobbiamo dimostrare che: $$\sum_{cyc}\frac{2p}{q+r}\geq\sum_{cyc}\frac{4pq}{(p+r)(q+r)}$$ o $$\sum_{cyc}p(p+q)(p+r)\geq2\sum_{cyc}pq(p+q)$$ o $$\sum_{cyc}(p^3-p^2q-p^2r+pqr)\geq0,$$ il che è vero per Schur.

Adesso, da allora $$1\geq\frac{xy+xz+yz}{x+y+z},$$ è abbastanza per dimostrarlo $$8(x^2+y^2+z^2)(xy+xz+yz)\geq3(x+y+z)(x+y)(x+z)(y+z)$$ o $$\sum_{cyc}(5x^3y+5x^3z-6x^2y^2-4x^2yz)\geq0,$$ il che è vero per Muirhead.

Answer 2

Questo è un approccio che utilizza i moltiplicatori di Lagrange.

Per la prima parte, possiamo scrivere il problema come \begin{align}\min&\quad8(a^2+b^2+c^2)-3(a+b)(a+c)(b+c)\\\text{s.t.}&\quad ab+ac+bc+abc=4-\epsilon\\&\quad a,b,c>0\quad\land\quad0\le\epsilon<4.\end{align} Poi abbiamo $\mathcal L=f-\lambda g$ dove $f(a,b,c)=8(a^2+b^2+c^2)-3(a+b)(a+c)(b+c)$ e $g(a,b,c)=ab+ac+bc+abc-(4-\epsilon)$. Le derivate parziali sono\begin{align}\mathcal L_a&=16a-3(b+c)(2a+b+c)-\lambda(b+c+bc)\\\mathcal L_b&=16b-3(a+c)(2b+a+c)-\lambda(a+c+ac)\\\mathcal L_c&=16c-3(a+b)(2c+a+b)-\lambda(a+b+ab)\\\mathcal L_\lambda&=ab+ac+bc+abc-(4-\epsilon).\end{align} Successivamente, abbiamo \begin{align}\mathcal L_a-\mathcal L_b&=0\implies16+3(a+b)+\lambda(1+c)=0,a=b\\\mathcal L_a-\mathcal L_c&=0\implies16+3(a+c)+\lambda(1+b)=0,a=c\\\mathcal L_b-\mathcal L_c&=0\implies16+3(b+c)+\lambda(1+a)=0,b=c,\end{align} quindi senza perdita di generalità abbiamo $a=b$. Locazione$c=ka$ rendimenti $f(a,b,c)=8(2+k^2)a^2-6(1+k)^2a^3$ e $g(a,b,c)=(1+2k)a^2+ka^3-(4-\epsilon)$. Da$f\to0^+$ come $\epsilon\to4^-$ miriamo a trovare $k,\epsilon$ tale che $f\le0$.

Il calcolo elementare lo rivela $f(a;k)$ aumenta monotonicamente nell'intervallo $[0,k^*]$ dove $k^*=8(2+k^2)/(9(1+k)^2)$, a partire dal $0$ per $f(k^*;k)>0$. Per$a>k^*$, la funzione $f(a;k)$ diminuisce monotonicamente a $-\infty$, dove incontra l'asse in $a=3k^*/2$. Si noti che la radice positiva di$g$ è più grande quando $4-\epsilon$è il massimo; questo è,$\epsilon=0$. A questo valore, è sufficiente notarlo$$g\left(\frac{3k^*}2;k\right)=(1+2k)\left(\frac{4(2+k^2)}{3(1+k)^2}\right)^2+k\left(\frac{4(2+k^2)}{3(1+k)^2}\right)^3-4=(k-1)^2\cdot\frac{P(k)}{Q(k)}$$ dove $P,Q$sono polinomi con coefficienti positivi. Come$k>0$ l'unica soluzione a $g=0$ è $k=1$, da cui ne consegue $a=b=c=1$. $\square$

Answer 3

La fonte del problema è: https://math.stackexchange.com/questions/2825783/problems-regarding-inequality. Di seguito sono riportate soluzioni per entrambe le parti, alcune sono state scritte da altri utenti nel vecchio thread sopra.

Parte (a): Soluzione per verità .

Permettere $a = \dfrac{2kx}{y+z}$, $b = \dfrac{2ky}{z+x}$, e $c = \dfrac{2kz}{x+y}$, dove $x,y,z,k>0$. Dalla condizione data, otteniamo$k \leqslant 1$ e la disuguaglianza richiesta è equivalente a $$96k^2\,\sum_\text{cyc}\, \frac{x^2}{(y+z)^2} \geqslant 72k^3 \prod_\text{cyc}\, \left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\right)\,.$$ Questo è equivalente a $$4\,\sum_\text{cyc}\, \frac{x^2}{(y+z)^2} \geqslant 3k\,\prod_\text{cyc}\, \left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\right)\,.$$

Perché $ k \leqslant 1$, è sufficiente dimostrarlo $$4\,\sum_\text{cyc}\, \frac{x^2}{(y+z)^2} \geqslant 3\, \prod_\text{cyc}\, \left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\right)\,,$$ Tuttavia, l'ultima disuguaglianza è equivalente a $$\sum_\text{cyc}\, \frac{\big(2x^4+16xyz^2+6y^2z^2+(2x^2+9xz+9yz+6z^2)(x+y-z)^2\big)(x-y)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \geqslant 0\,.$$

Parte (b): Soluzione di Michael Rozenberg . (@ Michael, se vuoi usare questa prova nella tua risposta separata, puoi rimuovere questa soluzione dalla mia risposta qui e aggiungerla nella tua risposta.)

Dalla disuguaglianza AM-GM, $$4\geq3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc\,,$$ che dà $$abc\leq1\,.$$ Quindi, ancora una volta dalla disuguaglianza AM-GM, otteniamo $$\sum_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2}+2\,\sum_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2b}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{6}{abc}\geq9\,.$$

Parte (b): Prova alternativa da parte mia.

Usa la disuguaglianza AM-GM con la disuguaglianza dei vincoli, abbiamo $$4\geq bc+ca+ab+abc\geq 4\,\sqrt[4]{(bc)(ca)(ab)(abc)}=4\,(abc)^{\frac{3}{4}}\,,$$ donde $$abc\leq 1\,.$$ Ora, abbiamo la disuguaglianza AM-GM che $$\sum_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2}+2\,\sum_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2b}\geq 9\, \sqrt[9]{\left(\prod_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2}\right)\,\left(\prod_\text{cyc}\,\frac{1}{a^2b}\right)^2}=\frac{9}{(abc)^{\frac{8}{9}}}\,.$$ Come $abc\leq 1$, la disuguaglianza richiesta segue immediatamente.