È il Dirac $\delta$-funzione necessariamente simmetrica?
Il Dirac $\delta$-funzione è definita come una distribuzione che soddisfa questi vincoli:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Alcuni autori mettono anche un altro vincolo che quello di Dirac $\delta$-funzione è simmetrica, cioè $\delta(x)=\delta(-x)$
Ora la mia domanda è: dobbiamo imporre separatamente il vincolo che Dirac $\delta$-la funzione è simmetrica o deriva automaticamente da altri vincoli?
Bene, per illustrare chiaramente la mia domanda, definirò una funzione come questa: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ dove ${\rm rect}(x)$ è definito come: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ non è certamente simmetrico, ma soddisfa le seguenti condizioni, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Ora, la mia domanda è: possiamo definire $ξ(t)$ come funzione Dirac Delta o no?
Risposte
La "funzione delta" non è una funzione, ma una distribuzione. La distribuzione è una prescrizione su come assegnare un numero a una funzione di test. Questa distribuzione può, ma non deve, avere valori di funzione nel senso comune. In caso di distribuzione delta, non ha valori di funzione.
Quindi affermazione come
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ che significa "valore di $\delta$ a $x$ è uguale al valore di $\delta$ a $-x$"è privo di significato / non valido.
Ma dichiarazione $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ può essere valido.
Puoi facilmente verificare che la funzione di $\Delta$ e $x$ (l'espressione dopo il segno di limite nella definizione di $\xi$) non soddisfa nessuna di queste due affermazioni (nel ruolo di $\delta$). Quindi non è "simmetrico".
La distribuzione delta può ipoteticamente soddisfare solo la seconda affermazione. Lo fa?
Possiamo valutare entrambi i lati dell'uguaglianza. Il lato sinistro ha valore, per definizione di$\delta(x)$, $f(0)$.
Possiamo trasformare l'integrale del lato destro in $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Per definizione di $\delta(y)$, il valore di questo integrale è $f(0)$, lo stesso del lato sinistro. Quindi (**) è soddisfatto.
L'equazione $\delta(x) = \delta(-x)$ è quindi conseguenza della definizione di $\delta(x)$, non è un'ipotesi indipendente.
La tua funzione $\xi$ può effettivamente obbedire anche alla seconda affermazione (e quindi essere simmetrica in quel senso), anche se il $\Delta$-espressione dipendente dopo il segno di limite no. Questo è simile per altre approssimazioni della distribuzione delta; l'approssimazione potrebbe non avere proprietà di$\delta$ (come la simmetria), ma il limite sì.
Il simbolo $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ con due argomenti $x,y\in\mathbb{R}$è una notazione informale del kernel per la distribuzione delta di Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ definito come
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
per funzioni di prova $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Ne consegue che il delta di Dirac definito come sopra è simmetrico $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cfr. Domanda del titolo di OP.
La funzione delta è una distribuzione, definita su un insieme di funzioni. I matematici di solito esprimono questo usando la notazione bra-ket, dove la funzione delta è il reggiseno$<\delta|$ e $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Se stavi parlando dell'insieme delle funzioni continue, credo che non avresti bisogno del requisito di simmetria. Ma di solito non è così. Nella meccanica quantistica, usiamo l'insieme delle funzioni quadrate integrabili; questo è un requisito lieve, che consente discontinuità.
Ora, se stai considerando funzioni che possono essere discontinue a zero, devi definire esplicitamente cosa fare, la distribuzione delta simmetrica dovrebbe essere
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
e potresti avere altre "funzioni delta" diverse che funzionano allo stesso modo in funzioni continue ma funzionano in modo diverso in caso di discontinuità.
BONUS: nella meccanica quantistica unidimensionale, hai un intero insieme di "barriere potenziali simili a delta" definite dai molteplici modi di connettersi $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ per $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. La nomenclatura è un incubo qui, a causa di errori nei libri di testo. Ogni "delta" o "barriera sostenuta in un unico punto" può essere visto come regola per unire gli intervalli$(-\infty, 0)$ e $(0, \infty)$.