È possibile partizionare $(\Bbb R,+)$ in 4 sottoinsiemi additivamente chiusi?

Question

È possibile partizionare $(\Bbb R,+)$in 4 sottoinsiemi additivamente chiusi ?

È facile suddividerlo in 1 e 2 e 3 sottoinsiemi chiusi in modo additivo . Per esempio per 2 sottoinsiemi abbiamo:$(\Bbb R^{\geq 0},+)\cup(\Bbb R^{< 0},+)$. Ma è possibile per 4 sottoinsiemi chiusi in modo additivo? Che dire$k$ sottoinsiemi additivamente chiusi ?

Answer 1

Puoi partizionare $(\Bbb R^n,+)$ nei tre sottogruppi $H^n_+=\{x\in\Bbb R^n\,:\, x_n>0\}$, $H^n_-=\{x\in\Bbb R^n\,:\,x_n<0\}$ e $\Bbb R^{n-1}\times\{0\}$. Pertanto, se$\Bbb R^{n-1}$ può essere partizionato in $k$ sottogruppi, quindi $\Bbb R^n$ può essere partizionato in $k+2$sottogruppi. Adesso molla$m$ essere il numero naturale positivo più piccolo tale che $(\Bbb R,+)$ non può essere partizionato $m$sottogruppi. Come hai detto,$m\ge3$e per definizione $(\Bbb R,+)$ può essere partizionato $m-2$sottogruppi. Ma allora$(\Bbb R^2,+)$ può essere partizionato $m$sottogruppi. Ma grazie ad AC (assioma di scelta),$(\Bbb R,+)$ e $(\Bbb R^2,+)$ sono isomorfi come gruppi, e quindi $(\Bbb R,+)$ può essere partizionato in $m$ anche sottogruppi, contro l'ipotesi su $m$. Perciò$(\Bbb R,+)$ può essere partizionato in qualsiasi numero finito di sottogruppi.

Answer 2

Per completezza aggiungerò una risposta che lo mostri in effetti $\Bbb R$ può essere partizionato in $\kappa$ set chiusi sotto addizione per qualsiasi cardinale diverso da zero $\kappa\le 2^\omega=\mathfrak{c}$. (Ovviamente questo usa l'assioma della scelta.) Inizia con una base di Hamel$B=\{b_\xi:\xi<2^\omega\}$ per $\Bbb R$ al di sopra di $\Bbb Q$. Per ciascuno$x\in\Bbb R\setminus\{0\}$ c'è un finito unico $B_x\subseteq B$ tale che $x$ è una combinazione lineare con coefficienti razionali diversi da zero dei membri di $B_x$; permettere$B_x^+$ essere l'insieme dei membri di $B_x$i cui coefficienti in quella combinazione lineare sono positivi. Per ciascuno$\eta<2^\omega$ permettere

$$A_\eta=\big\{x\in\Bbb R:\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}=\eta\text{ and }b_\eta\in B_x^+\big\}\,;$$

$b_\eta\in A_\eta$, così $A_\eta\ne\varnothing$, e $A_\eta$ è chiaramente chiuso per aggiunta.

Adesso molla $\kappa\le 2^\omega$ essere un cardinale, e lascia $$D=\Bbb R\setminus\bigcup_{\xi<\kappa}A_\xi\,.$$

Chiaramente $\{D\}\cup\{A_\xi:\xi<\kappa\}$ è una partizione di $\Bbb R$ in $\kappa$ parti se $\kappa\ge\omega$e in $\kappa+1$ parti se $\kappa<\omega$, e resta solo da dimostrarlo $D$è chiuso per addizione. Ma$x\in D$ se e neanche

• $\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}\ge\kappa$, o
• $\eta=\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}<\kappa$ e $b_\eta\notin B_x^+$, o
• $x=0$,

ed è facile verificare che l'insieme dei numeri reali che soddisfano una di queste condizioni sia chiuso per addizione.