È possibile scrivere una metrica uno spazio come unione disgiunta numerabile di insiemi compatti?
Permettere$ (X,d)$essere uno spazio metrico e let$\mu $essere un Radon$\sigma$-misura finita sul Borel$\sigma$-algebra. Ho letto che è possibile trovare insiemi compatti disgiunti numerabili$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$e un$\mu$-insieme nullo$N$tale che$$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$
Ho cercato di raggiungere dei risultati utilizzando la regolarità interiore di$\mu$, ma niente. Questa affermazione è vera? Come posso provarlo?
Risposte
Il presupposto chiave qui è che$\mu$è una misura di Radon, nel senso che è internamente regolare rispetto agli insiemi compatti . Senza questo presupposto, questo non è vero, nemmeno se$\mu$è finito (ad esempio, ci sono spazi metrici che supportano misure continue in cui tutti gli insiemi compatti sono finiti).
Scrivere$X=\bigcup_n X_n$, dove ciascuno$X_n$sono Borel disgiunti e di misura finita. Quindi, in modo ricorsivo, scegli un compatto$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$tale che$\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. Quindi$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$è nullo, e così$X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$è nullo, e$K_{n,m}$sono chiaramente disgiunti.