È possibile trovare un numero intero (non quadrato) che sia un residuo quadratico modulo un dato elenco infinito di numeri primi?

Aug 17 2020

Mi chiedo se sia possibile, dato un numero primo p e un elenco infinito di numeri primi$q_1$,$q_2$, ... per trovare un intero d che (1) non è un quadrato mod p, ma (2) è un quadrato mod$q_i$per tutti i. Sempre, a volte, mai? Probabilmente a volte --- quali sono alcune condizioni? Nell'applicazione che ho in mente, il$q_i$sono tutti i primi divisori dei numeri$p^{2^n}-1$poiché n varia da 1 a infinito, ma è piuttosto flessibile.

(L'applicazione, tra l'altro, implica prendere un'interpolazione p-adica dell'elevamento a potenza di numeri interi razionali ed estenderla ad anelli di numeri interi in torri di campi numerici.)

[ETA: ho dimenticato di menzionare che d dovrebbe anche essere un quadrato mod 8 per l'applicazione, il che esclude la risposta di -1 fornita di seguito.]

  • Per un elenco finito, d può essere costruito utilizzando il teorema cinese del resto, ma qui non sembra essere d'aiuto.

  • Dato d, la reciprocità quadratica fornisce un insieme infinito di numeri primi per i quali d è un quadrato, ma prima ho bisogno dei numeri primi specificati.

  • Grunwald-Wang dice, se ho capito bene, che la condizione (1) implica che d non è un modulo quadrato$q$per infiniti numeri primi$q$, ma non dice nulla sui numeri primi per i quali d è un quadrato.

  • Il teorema della densità di Chebotarov sembra implicare che l'insieme dei possibili d abbia densità zero, ma non esclude (o implica) che uno di questi d esista.

Grazie per qualsiasi aiuto, fonte o consiglio!

----Josh

Risposte

5 AaronMeyerowitz Aug 17 2020 at 10:06

Dipende dall'elenco di numeri primi dato. Una condizione più semplice ma necessaria è che ci sia a$d$in modo che tutti i numeri primi della lista (maggiori di$d$) sono concentrate in poche classi di congruenza$\bmod 4d.$Possiamo attenerci ai divisori primi dispari poiché tutto è un residuo quadratico$\bmod 2.$

Se l'elenco contiene tutti numeri primi congruenti a$1 \bmod 4$poi$-1$è un comune residuo quadratico. Probabilmente non sembra molto eccitante.

Se l'elenco contiene tutti i divisori primi dispari di$3^{2^n}-1$come$n$allora varia sugli interi positivi$-1$è di nuovo un comune residuo quadratico. Questo è il tipo di cosa che stavi menzionando. Ma il motivo è che tutti quei numeri primi lo sono$1 \bmod 4$

Se non erro, e per lo stesso motivo,$-1$è un residuo quadratico comune di dei divisori primi di$p^{2^n}-1$come$n$varia sugli interi a partire da$2.$

Per alcuni numeri primi , come ad esempio$5,7,17,19,31,53,59$possiamo espandere l'elenco a tutti i divisori primi di$p^{2^n}-1$con l'eccezione di$3.$In generale è sufficiente scartare eventuali divisori di$p^2-1$quali sono$3 \bmod 4.$

I fatti dietro questo sono

  • $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
  • ogni fattore dispari di$p^{2^m}+1$è della forma$2^{m+1}q+1$
  • $-1$è un residuo quadratico per numeri primi che sono$1 \bmod 4.$

Pensa prima a questa (facile) domanda. Per fisso$d$quali sono i numeri primi dispari$q$tale che$d$è un residuo quadratico$\bmod q?$Chiama questo insieme$G_d.$Possiamo supporre che$d$è quadrato.

Poi i membri di$G_d$sono i primi divisori di$d$insieme a quei numeri primi in un'unione di certe classi di congruenza$\bmod 4d.$La metà delle classi$(r \bmod 4d)$insieme a$\gcd(r,4d)=1$

In alcuni casi ($d$anche o$d$dispari con tutti i divisori$1 \bmod 4$) basti considerare le classi di congruenza$\bmod 2d$. Comunque quanto scritto è ancora corretto. Ignorerò il tuo$p$partendo dal presupposto che l'obiettivo fosse quello di escludere$d$essendo un quadrato.

Poi lo specifico$d$funziona per una particolare istanza del tuo problema, precisamente se l'elenco scelto è uno degli innumerevoli infiniti sottoinsiemi di$G_d.$

D'altra parte, supponiamo che sia dato che i membri della lista (diversi dai divisori di$d$nell'elenco, se presenti) sono scelti tra alcuni$k \ll \phi(d)$delle classi di congruenza$\bmod 4d$. Poi, se il$k$sono scelti a caso, la possibilità che$d$funzionerà è inferiore a$2^{-k}$.

Quindi partendo da un elenco$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$la prima domanda è "C'è qualche motivo per sospettare che ci sia un$M$in modo che tutti i membri di$\mathbf{q}$(primo a$M$) sono concentrati in alcune delle classi di congruenza$\bmod M?$" Se ciò non accade, allora non c'è speranza. Se accade per un certo$M,$allora le possibilità potrebbero essere ancora basse.

Quindi dipende molto da dove$\mathbf{q}$viene da.

A proposito, il problema di trovare a$d$che è un non residuo quadratico relativo a tutti$q \in \mathbf{q},$è altrettanto difficile.