È possibile trovare un numero intero (non quadrato) che sia un residuo quadratico modulo un dato elenco infinito di numeri primi?
Mi chiedo se sia possibile, dato un numero primo p e un elenco infinito di numeri primi$q_1$,$q_2$, ... per trovare un intero d che (1) non è un quadrato mod p, ma (2) è un quadrato mod$q_i$per tutti i. Sempre, a volte, mai? Probabilmente a volte --- quali sono alcune condizioni? Nell'applicazione che ho in mente, il$q_i$sono tutti i primi divisori dei numeri$p^{2^n}-1$poiché n varia da 1 a infinito, ma è piuttosto flessibile.
(L'applicazione, tra l'altro, implica prendere un'interpolazione p-adica dell'elevamento a potenza di numeri interi razionali ed estenderla ad anelli di numeri interi in torri di campi numerici.)
[ETA: ho dimenticato di menzionare che d dovrebbe anche essere un quadrato mod 8 per l'applicazione, il che esclude la risposta di -1 fornita di seguito.]
Per un elenco finito, d può essere costruito utilizzando il teorema cinese del resto, ma qui non sembra essere d'aiuto.
Dato d, la reciprocità quadratica fornisce un insieme infinito di numeri primi per i quali d è un quadrato, ma prima ho bisogno dei numeri primi specificati.
Grunwald-Wang dice, se ho capito bene, che la condizione (1) implica che d non è un modulo quadrato$q$per infiniti numeri primi$q$, ma non dice nulla sui numeri primi per i quali d è un quadrato.
Il teorema della densità di Chebotarov sembra implicare che l'insieme dei possibili d abbia densità zero, ma non esclude (o implica) che uno di questi d esista.
Grazie per qualsiasi aiuto, fonte o consiglio!
----Josh
Risposte
Dipende dall'elenco di numeri primi dato. Una condizione più semplice ma necessaria è che ci sia a$d$in modo che tutti i numeri primi della lista (maggiori di$d$) sono concentrate in poche classi di congruenza$\bmod 4d.$Possiamo attenerci ai divisori primi dispari poiché tutto è un residuo quadratico$\bmod 2.$
Se l'elenco contiene tutti numeri primi congruenti a$1 \bmod 4$poi$-1$è un comune residuo quadratico. Probabilmente non sembra molto eccitante.
Se l'elenco contiene tutti i divisori primi dispari di$3^{2^n}-1$come$n$allora varia sugli interi positivi$-1$è di nuovo un comune residuo quadratico. Questo è il tipo di cosa che stavi menzionando. Ma il motivo è che tutti quei numeri primi lo sono$1 \bmod 4$
Se non erro, e per lo stesso motivo,$-1$è un residuo quadratico comune di dei divisori primi di$p^{2^n}-1$come$n$varia sugli interi a partire da$2.$
Per alcuni numeri primi , come ad esempio$5,7,17,19,31,53,59$possiamo espandere l'elenco a tutti i divisori primi di$p^{2^n}-1$con l'eccezione di$3.$In generale è sufficiente scartare eventuali divisori di$p^2-1$quali sono$3 \bmod 4.$
I fatti dietro questo sono
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- ogni fattore dispari di$p^{2^m}+1$è della forma$2^{m+1}q+1$
- $-1$è un residuo quadratico per numeri primi che sono$1 \bmod 4.$
Pensa prima a questa (facile) domanda. Per fisso$d$quali sono i numeri primi dispari$q$tale che$d$è un residuo quadratico$\bmod q?$Chiama questo insieme$G_d.$Possiamo supporre che$d$è quadrato.
Poi i membri di$G_d$sono i primi divisori di$d$insieme a quei numeri primi in un'unione di certe classi di congruenza$\bmod 4d.$La metà delle classi$(r \bmod 4d)$insieme a$\gcd(r,4d)=1$
In alcuni casi ($d$anche o$d$dispari con tutti i divisori$1 \bmod 4$) basti considerare le classi di congruenza$\bmod 2d$. Comunque quanto scritto è ancora corretto. Ignorerò il tuo$p$partendo dal presupposto che l'obiettivo fosse quello di escludere$d$essendo un quadrato.
Poi lo specifico$d$funziona per una particolare istanza del tuo problema, precisamente se l'elenco scelto è uno degli innumerevoli infiniti sottoinsiemi di$G_d.$
D'altra parte, supponiamo che sia dato che i membri della lista (diversi dai divisori di$d$nell'elenco, se presenti) sono scelti tra alcuni$k \ll \phi(d)$delle classi di congruenza$\bmod 4d$. Poi, se il$k$sono scelti a caso, la possibilità che$d$funzionerà è inferiore a$2^{-k}$.
Quindi partendo da un elenco$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$la prima domanda è "C'è qualche motivo per sospettare che ci sia un$M$in modo che tutti i membri di$\mathbf{q}$(primo a$M$) sono concentrati in alcune delle classi di congruenza$\bmod M?$" Se ciò non accade, allora non c'è speranza. Se accade per un certo$M,$allora le possibilità potrebbero essere ancora basse.
Quindi dipende molto da dove$\mathbf{q}$viene da.
A proposito, il problema di trovare a$d$che è un non residuo quadratico relativo a tutti$q \in \mathbf{q},$è altrettanto difficile.