È sempre possibile partizionare $[a,b]\times[c,d]$ in blocchi disgiunti $D_{ij}$ st $\left.f\right|_{D_{ij}}$ è biettivo?
Considera la funzione data da $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ tale che $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
Inoltre, abbiamo anche quello $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ ed è suriettivo.
La mia domanda
È sempre possibile partizionare $[a,b]\times[c,d]$ in blocchi disgiunti $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, dove $1\leq i \leq m$ e $1\leq j\leq n$, tale che $\left.f\right|_{D_{ij}}$ è biettivo?
In tal caso, esiste un numero minimo di blocchi $D_{ij}$ che soddisfano questa restrizione?
Qui presumo la funzione $f$ non è costante da nessuna parte e $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ per ogni $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
Tale domanda non è compito a casa. È nato dalla mia ricerca personale.
Se questa domanda non è adeguata a questo sito, fammelo sapere.
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Risposte
La risposta è no.
Ad esempio, lascia $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ e $$f(x,y):=(g(x),y)$$ per $(x,y)\in[0,1]^2$, dove $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ per $x\in(0,1]$ con $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ e $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. Poi$f$ è un suriettivo $C^1$ mappa da $[0,1]^2$ per $[0,1]^2$.
Inoltre, per qualsiasi $(x,y)\in[0,1]^2$, qualunque $u\in(0,1]$e qualsiasi $v\in[0,1]$ l'uguaglianza $f(x,y)=(u,v)$ implica $y=v$ e $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ e quindi $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ così che $\ln x$ varia al massimo $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ uniformemente in $u\in(0,1]$.
Anche, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ per alcuni veri $t$ (dipende solo da $p$ e $a$) e tutto $x\in(0,1]$.
Quindi, data la condizione (1), $g'(x)$ può cambiare il segno non più di $n$ volte, per alcuni naturali $n$ dipende solo da $p$ e $a$. Perciò,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ per ogni $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. Anche,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ per ogni $v\in[0,1]$. Così,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ per ogni $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
D'altra parte, segue da (2) e (0) quello $g'$ cambia il segno infinite volte in qualsiasi giusto quartiere di $0$. Pertanto, la restrizione di$f$ a qualsiasi rettangolo con un vertice in $(0,0)$ non è biettivo.
Per un'illustrazione, di seguito sono riportati i grafici $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (sinistra) e $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (a destra) per $p=3/2$ e $a=9/10$. Questi grafici sono versioni ridimensionate in modo non lineare (orizzontalmente e verticalmente, per una migliore percezione) di un grafico della funzione$h$ in un giusto quartiere di $0$.
