È vero che $\angle ACK=\angle BCL$ nel cerchio?

Question

Nota: questo è il problema centrale che ho estratto dalla seguente domanda, a cui ho lottato per ore e giorni e sono sul punto di rinunciare.

Dimostra che due angoli si sommano fino a 90 gradi

Il problema:

Nel cerchio, $MN$ è un diametro. $\triangle ABC$ è un triangolo rettangolo tale che $AB\perp MN$ e $\angle ACB = 90^{\circ}$. $MA, MB$ interseca il cerchio in $K, L$. Prova che$\angle ACK=\angle BCL$.

Quello che ho provato:

Si noti che questo problema ha una condizione "più flessibile" rispetto al problema originale, quindi non è garantito che l'affermazione sia vera $100$per cento. Ma ho tirato fuori$5$immagini diverse con altissima precisione e confrontato manualmente i due angoli, che sono sempre gli stessi. Questo mi porta a credere che questa domanda sia la parte centrale del problema originale.

Dal dato, quello che posso dire è $A,B,L,K$ sono co-ciclici e non sono andato da nessuna parte oltre a questo nonostante abbia passato giorni.

Se disegno linee parallele a $AC$ e $BC$ a partire dal $M$ e intersecandoli con il cerchio, ottengo un triangolo simile a $\triangle ABC$ che passano per il centro del cerchio, il che è carino ma per niente utile.

I due angoli sembrano così remoti. Ho la sensazione che ci sia un teorema che può risolvere questo problema in più righe, ma solo che non conosco il teorema.

La condizione più rigorosa:

Se includo un'altra condizione quella $KB$ e $LA$ incontra il cerchio a $P,Q$ dove $C$ è in linea $PQ$ e $PQ$ è perpendicolare a $MN$allora questo problema è equivalente al problema originale. Ma non credo che sia necessario per questo risultato specifico basato sull'osservazione sperimentale. (Tuttavia sono necessari per il problema originale)

Answer 1

Contrassegniamo l'intersezione di MN e AB come F. I triangoli ACF, BCF e ABC sono congruenti. Dall'inseguimento dell'angolo possiamo vedere che:

$BAC=BCN=BCL+LCN=CBM+NMB$

$ABC=ACN=ACK+KCN=CAM+NMA$

Somma i lati delle relazioni che ottieni:

$(BCN+ACN=90^o)=CAM+CBM+AMB$

Ora come in figura, MD || AC e ME || BC quindi: $DME=90^o$ciò significa che DE è il diametro del cerchio ed è parallelo ad AB. Questo è il triangolo DME e ABC sono isoscele ei punti K e L sono speculari rispetto a MN (o CN). quindi

$\widehat{ACK}=\widehat{BCL}$

Ora l'orientamento delle linee che costruiscono questi due angoli rimane costante, anche le loro misure se il triangolo MDE ruota attorno a M e la base DE ruota attorno al centro del cerchio ma la misura dell'angolo DME rimane a $90^o$. Ciò significa che se si esegue la procedura inversa, ovvero si disegna prima un triangolo MDE simmetrico rispetto a MN, allora può sempre esistere un triangolo rettangolo come ABC e angoli uguali come ACK e LCB.