È vero che $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [duplicare]

Question

Permettere $ f $ essere una funzione tale che $ f'' $ esiste a $ x=0 $.

È vero che :

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

Sono abbastanza sicuro che, affinché ciò sia vero, $ f'' $dovrebbe essere continuo, che non è dato. Ma sto lottando per trovare un controesempio. Devo trovare una funzione che sia differenziabile due volte, ma$ f'' $ non è continuo (ammesso di aver capito la situazione).

Apprezzerei un po 'di aiuto. Grazie in anticipo.

Answer 1

Puoi utilizzare un'espansione Taylor: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ dove $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. Poi\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}La continuità della derivata seconda non è necessaria; è sufficiente che la (prima) derivata esista in un intorno di$0$ ed è differenziabili in $0$.

Answer 2

Da

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

e

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

è sufficiente dimostrarlo

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

Questo può essere fatto con una singola applicazione di L'Hopital:

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(Il passaggio finale non è un altro ciclo di L'Hopital, è la definizione della derivata seconda. L'unica condizione che L'Hopital richiede qui è che la derivata prima sia definita in un quartiere di $0$, che deve essere soddisfatto per $f''(0)$ esistere.)