È $x^2y^2-z^3$ un elemento irriducibile in $\Bbb Q[x,y,z]$?

Question

È $x^2y^2 - z^3$ un elemento irriducibile in $\Bbb Q[x,y,z]$?

Voglio provare $\Bbb Q[x,y,z]/(x^2y^2-z^3)$ è un dominio integrale, quindi devo mostrare $(x^2y^2 - z^3)$ è un ideale primo di $\Bbb Q[x,y,z]$. Ho provato a mostrare$x^2y^2-x^3$ è un elemento irriducibile, e ho cercato di applicare il criterio degli ideali primi di Eisenstein, ma ogni variabile $x,y,z$ ha più grado maggiore di $2$. Quindi ho bisogno di usare un altro metodo, ma non mi viene in mente nulla.

Answer 1

Pensa a $z^3-x^2y^2$ come un cubo monico in $z$. Se avesse un fattore, avrebbe un fattore lineare della forma$z-\phi$ dove $\phi\in\Bbb Q[x,y]$ e $\phi^3=x^2y^2$. Non esiste tale$\phi$.