Energia extra nei sistemi a doppia massa-molla
Di seguito è riportato un sistema a molla a doppia massa posizionato su una superficie liscia (senza attrito), assumiamo la costante elastica as$k$in questo caso.

Ora, se creiamo una piccola estensione nella primavera del valore$x_o$, le due masse eseguiranno moto armonico semplice (SHM) individualmente con ampiezze$A_1$e$A_2$rispettivamente tale che$A_1$+$A_2$=$x_o$. Ora l'energia totale di detto sistema è data da$\frac{1}{2}kx_o^2$e le energie delle loro oscillazioni individuali sarebbero$\frac{1}{2}kA_1^2$e$\frac{1}{2}kA_2^2$. Ma$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Quindi per cosa viene utilizzata questa energia extra? Chiaramente non viene utilizzato per SHM in quanto non rientra nell'energia delle oscillazioni individuali delle masse. Quindi non sono in grado di dire per cosa viene utilizzato!
Ho anche un'altra domanda. Le loro energie cinetiche massime individuali sono correlate come segue:$\frac{1}{2}mv_1^2$+$\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, dove$v_1$e$v_2$sono le velocità massime delle singole masse. Ma la massima energia cinetica di un corpo che esegue SHM dovrebbe essere uguale alla sua massima energia potenziale! Così$\frac{1}{2}kA_1^2$dovrebbe essere uguale a$\frac{1}{2}mv_1^2$e allo stesso modo$\frac{1}{2}kA_2^2$dovrebbe essere uguale a$\frac{1}{2}Mv_2^2$. Ma questo andrebbe contro la nostra equazione che$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Quindi sono abbastanza confuso su ciò che sta accadendo qui!
Quindi qualcuno può spiegarmelo?
Risposte
Devi analizzare entrambe le masse insieme come un singolo sistema SHM - non puoi dividerlo in due componenti SHM indipendenti.
Supponiamo di iniziare con la molla alla sua lunghezza naturale e spostare la massa$m$a sinistra di una certa distanza$x_1$e massa$M$a destra di una certa distanza$x_2$. La forza che la molla esercita su entrambe le masse è ora$k(x_1+x_2)$. Quindi se spostiamo la massa$m$da$x_1=0$a$x_1=A_1$e spostiamo la massa$M$da$x_2=0$a$x_2=A_2$quindi l'energia totale immagazzinata nella molla è
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
dove$y=x_1+x_2$, e
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
quindi non c'è "energia extra".
Quando rilasciamo le masse l'equazione del moto della massa$m$è
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
e per la massa$M$è
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
Sommando questi insieme otteniamo
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
dove$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, e$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Così
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
Allo stesso modo
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
Quando la primavera ritorna alla sua lunghezza naturale,$y=0$e$\cos \sqrt{k'}t = 0$Così$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Quindi l'energia cinetica del sistema è
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
In altre parole, tutta l'energia potenziale immagazzinata nella molla è stata convertita in energia cinetica, come previsto.
Permettere$x$essere l'entità dello spostamento massimo dalla sua posizione di equilibrio di massa$m$e$X$essere l'entità dello spostamento massimo dalla sua posizione di equilibrio di massa$M$.
La conservazione della quantità di moto per il sistema richiede$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.
Per questo sistema la frequenza naturale di oscillazione è data da$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.
L'energia cinetica massima del sistema è$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.
Mettere il valore di$\omega^2$e moltiplicando dà l'energia cinetica come
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.
È possibile fare un'analisi più generale per dimostrare che l'energia totale del sistema è costante.